関数 $y = 2 \cos x \sin 2x - \sin x + 2$ ($0 \le x \le \pi$) の最大値と最小値を求める。ただし、$\sin x = t$ とおき、与えられた空欄を埋める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2 \cos x \sin 2x - \sin x + 2$ ($0 \le x \le \pi$) の最大値と最小値を求める。ただし、$\sin x = t$ とおき、与えられた空欄を埋める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $t$ の関数で表すことを考える。

$\sin x = t$ より、$\cos x = \sqrt{1 - t^2}$（$0 \le x \le \pi$ より$\cos x$ は負の値も取りうる）。

また、$\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2t \sqrt{1 - t^2}$.

したがって、

$y = 2 \sqrt{1 - t^2} \cdot 2t \sqrt{1 - t^2} - t + 2 = 4t (1 - t^2) - t + 2 = 4t - 4t^3 - t + 2 = -4t^3 + 3t + 2$.

よって、$y = -4t^3 + 3t + 2$ と表せる。

次に、$t$ の取りうる範囲を求める。

$0 \le x \le \pi$ において、$0 \le \sin x \le 1$ であるから、$0 \le t \le 1$.

$y' = \frac{dy}{dt} = -12t^2 + 3$.

$y' = 0$ となるのは、$12t^2 = 3$ より、$t^2 = \frac{1}{4}$ すなわち、$t = \pm \frac{1}{2}$.

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.

$t = -\frac{1}{2}$ は、$0 \le t \le 1$ を満たさないので除外する。

$x=0$ のとき、$t=0$, $y=2$.

$x=\pi$ のとき、$t=0$, $y=2$.

$x = \frac{\pi}{6}$ のとき、$t = \frac{1}{2}$, $y = -4(\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{2}) + 2 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 2 = 1 + 2 = 3$.

$x = \frac{5\pi}{6}$ のとき、$t = \frac{1}{2}$, $y = -4(\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{2}) + 2 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 2 = 1 + 2 = 3$.

$t = 1$ のとき、$x = \frac{\pi}{2}$, $y = -4(1) + 3(1) + 2 = -4 + 3 + 2 = 1$.

最大値は 3, 最小値は 1。

最大値をとるのは、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.

最小値をとるのは、$x = \frac{\pi}{2}$.

3. 最終的な答え

ア：0

イ：1

ウエ：-4

オ：3

カ：2

キ：1

ク：2

ケ：6

コ：5

サ：6

シ：3

ス：2

セ：1