与えられた関数について、増減を調べて表を完成させる問題です。具体的には、与えられた関数 $f(x)$ について、導関数 $f'(x)$ を求め、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。そして、$f'(x)$ の符号を調べ、増減表を完成させます。

1. 問題の内容

与えられた関数について、増減を調べて表を完成させる問題です。具体的には、与えられた関数 $f(x)$ について、導関数 $f'(x)$ を求め、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。そして、$f'(x)$ の符号を調べ、増減表を完成させます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 6x$

* 導関数を求める: $f'(x) = 2x - 6$

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める: $2x - 6 = 0$ より $x = 3$

* 増減表を作成する。$x < 3$ のとき $f'(x) < 0$、$x > 3$ のとき $f'(x) > 0$。したがって、$x = 3$ で極小値をとる。$f(3) = 3^2 - 6(3) = 9 - 18 = -9$

(2) $f(x) = -x^2 + 2x$

* 導関数を求める: $f'(x) = -2x + 2$

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める: $-2x + 2 = 0$ より $x = 1$

* 増減表を作成する。$x < 1$ のとき $f'(x) > 0$、$x > 1$ のとき $f'(x) < 0$。したがって、$x = 1$ で極大値をとる。$f(1) = -1^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$

(3) $f(x) = x^3 - 9x^2$

* 導関数を求める: $f'(x) = 3x^2 - 18x$

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める: $3x^2 - 18x = 3x(x - 6) = 0$ より $x = 0, 6$

* 増減表を作成する。$x < 0$ のとき $f'(x) > 0$、$0 < x < 6$ のとき $f'(x) < 0$、$x > 6$ のとき $f'(x) > 0$。したがって、$x = 0$ で極大値、$x = 6$ で極小値をとる。$f(0) = 0^3 - 9(0^2) = 0$, $f(6) = 6^3 - 9(6^2) = 216 - 9(36) = 216 - 324 = -108$

(4) $f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x$

* 導関数を求める: $f'(x) = -3x^2 - 6x + 9$

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める: $-3x^2 - 6x + 9 = -3(x^2 + 2x - 3) = -3(x + 3)(x - 1) = 0$ より $x = -3, 1$

* 増減表を作成する。$x < -3$ のとき $f'(x) < 0$、$-3 < x < 1$ のとき $f'(x) > 0$、$x > 1$ のとき $f'(x) < 0$。したがって、$x = -3$ で極小値、$x = 1$ で極大値をとる。$f(-3) = -(-3)^3 - 3(-3)^2 + 9(-3) = -(-27) - 3(9) - 27 = 27 - 27 - 27 = -27$, $f(1) = -1^3 - 3(1^2) + 9(1) = -1 - 3 + 9 = 5$

3. 最終的な答え

(1)

| x | ... | 3 | ... |

|-------|-----|-----|-----|

| f'(x) | - | 0 | + |

| f(x) | ↘ | -9 | ↗ |

(2)

| x | ... | 1 | ... |

|-------|-----|-----|-----|

| f'(x) | + | 0 | - |

| f(x) | ↗ | 1 | ↘ |

(3)

| x | ... | 0 | ... | 6 | ... |

|-------|-----|-----|-----|------|-----|

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↗ | 0 | ↘ | -108 | ↗ |

(4)

| x | ... | -3 | ... | 1 | ... |

|-------|-----|-----|-----|-----|-----|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | ↘ | -27 | ↗ | 5 | ↘ |