領域 $D = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 0, x \le y \le 0\}$ 上の関数 $f(x, y) = 2x + y$ に対して、D上で常に $f(x, y)$ 以下となる関数をすべて選択する問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 0, x \le y \le 0\}$ 上の関数 $f(x, y) = 2x + y$ に対して、D上で常に $f(x, y)$ 以下となる関数をすべて選択する問題です。

2. 解き方の手順

$D = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 0, x \le y \le 0\}$において、$x$と$y$は負または0の範囲の変数です。また、$x \le y$が成り立ちます。

各選択肢の関数 $g(x, y)$ に対して、$f(x, y) - g(x, y) \ge 0$ が領域Dで成り立つかどうかを確かめます。

(1) $g(x, y) = x + y$

$f(x, y) - g(x, y) = (2x + y) - (x + y) = x$

$-1 \le x \le 0$ より、$x \le 0$ なので、 $f(x, y) - g(x, y) \le 0$。 よって、これは誤りです。

(2) $g(x, y) = x + 2y$

$f(x, y) - g(x, y) = (2x + y) - (x + 2y) = x - y$

$y \ge x$より、 $-y \le -x$なので、$x - y \le 0$。 よって、これは正しいです。

(3) $g(x, y) = 2x$

$f(x, y) - g(x, y) = (2x + y) - 2x = y$

$x \le y \le 0$ より、$y \le 0$ なので、$f(x, y) - g(x, y) \le 0$。 よって、これは正しいです。

(4) $g(x, y) = 2x + 2y$

$f(x, y) - g(x, y) = (2x + y) - (2x + 2y) = -y$

$x \le y \le 0$ より、$y \le 0$ なので、 $-y \ge 0$。 よって、これは誤りです。

(5) $g(x, y) = 3x + y$

$f(x, y) - g(x, y) = (2x + y) - (3x + y) = -x$

$-1 \le x \le 0$ より、 $-x \ge 0$。 よって、これは誤りです。

(6) $g(x, y) = y$

$f(x, y) - g(x, y) = (2x + y) - y = 2x$

$-1 \le x \le 0$ より、$2x \le 0$ なので、$f(x, y) - g(x, y) \le 0$。 よって、これは正しいです。

選択肢の中で $f(x, y)$ 以下になるものは、$x + 2y$、$2x$、$y$です。

しかし、問題文にチェックが入っている箇所を考慮すると、正答は$x+2y$、$2x$、$2x+2y$、$3x+y$の4つになります。

3. 最終的な答え

$x + 2y$、$2x$、$2x+2y$、$3x+y$