次の定積分を計算します。 (1) $\int_{2}^{4} 6x \, dx$ (2) $\int_{-1}^{2} 12x^2 \, dx$ (3) $\int_{1}^{3} (3x^2 - 5) \, dx$ (4) $\int_{0}^{1} (9x^2 + 4x + 2) \, dx$ (5) $\int_{2}^{3} (x+1)(x-2) \, dx$

はい、承知いたしました。

画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

(1) $\int_{2}^{4} 6x \, dx$

(2) $\int_{-1}^{2} 12x^2 \, dx$

(3) $\int_{1}^{3} (3x^2 - 5) \, dx$

(4) $\int_{0}^{1} (9x^2 + 4x + 2) \, dx$

(5) $\int_{2}^{3} (x+1)(x-2) \, dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\int_{2}^{4} 6x \, dx = [3x^2]_{2}^{4} = 3(4^2) - 3(2^2) = 3(16) - 3(4) = 48 - 12 = 36$

(2)

$\int_{-1}^{2} 12x^2 \, dx = [4x^3]_{-1}^{2} = 4(2^3) - 4(-1)^3 = 4(8) - 4(-1) = 32 + 4 = 36$

(3)

$\int_{1}^{3} (3x^2 - 5) \, dx = [x^3 - 5x]_{1}^{3} = (3^3 - 5(3)) - (1^3 - 5(1)) = (27 - 15) - (1 - 5) = 12 - (-4) = 12 + 4 = 16$

(4)

$\int_{0}^{1} (9x^2 + 4x + 2) \, dx = [3x^3 + 2x^2 + 2x]_{0}^{1} = (3(1)^3 + 2(1)^2 + 2(1)) - (0) = 3 + 2 + 2 = 7$

(5)

まず、積分する関数を展開します。

$(x+1)(x-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$

$\int_{2}^{3} (x^2 - x - 2) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x]_{2}^{3} = (\frac{1}{3}(3^3) - \frac{1}{2}(3^2) - 2(3)) - (\frac{1}{3}(2^3) - \frac{1}{2}(2^2) - 2(2)) = (9 - \frac{9}{2} - 6) - (\frac{8}{3} - 2 - 4) = (3 - \frac{9}{2}) - (\frac{8}{3} - 6) = (\frac{6}{2} - \frac{9}{2}) - (\frac{8}{3} - \frac{18}{3}) = -\frac{3}{2} - (-\frac{10}{3}) = -\frac{3}{2} + \frac{10}{3} = -\frac{9}{6} + \frac{20}{6} = \frac{11}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 36

(2) 36

(3) 16

(4) 7

(5) $\frac{11}{6}$