次の微分方程式を解け。 (1) $(\frac{df}{dx})^2 + 4\frac{df}{dx} + 3 = 0$ (2) $\log(\frac{df}{dx}) + x + 2 = 0$ (3) $\tan(\frac{df}{dx}) - x = 0$ ## 解き方の手順 **(1) $(\frac{df}{dx})^2 + 4\frac{df}{dx} + 3 = 0$** 1. $\frac{df}{dx}$ を一つの文字 $y$ とみなして因数分解する。 $y^2 + 4y + 3 = (y+1)(y+3) = 0$ よって、$y = -1, -3$

## 問題1

1. 問題の内容

次の微分方程式を解け。

(1) $(\frac{df}{dx})^2 + 4\frac{df}{dx} + 3 = 0$

(2) $\log(\frac{df}{dx}) + x + 2 = 0$

(3) $\tan(\frac{df}{dx}) - x = 0$

## 解き方の手順

**(1) $(\frac{df}{dx})^2 + 4\frac{df}{dx} + 3 = 0$**

1. $\frac{df}{dx}$ を一つの文字 $y$ とみなして因数分解する。

$y^2 + 4y + 3 = (y+1)(y+3) = 0$

よって、$y = -1, -3$

2. $\frac{df}{dx} = -1$ の場合、$f = \int -1 dx = -x + C_1$ ($C_1$は積分定数)

3. $\frac{df}{dx} = -3$ の場合、$f = \int -3 dx = -3x + C_2$ ($C_2$は積分定数)

**(2) $\log(\frac{df}{dx}) + x + 2 = 0$**

1. $\log(\frac{df}{dx}) = -x - 2$

2. $\frac{df}{dx} = e^{-x-2}$

3. $f = \int e^{-x-2} dx = -e^{-x-2} + C$ ($C$は積分定数)

**(3) $\tan(\frac{df}{dx}) - x = 0$**

1. $\tan(\frac{df}{dx}) = x$

2. $\frac{df}{dx} = \arctan(x)$

3. $f = \int \arctan(x) dx$

$\arctan(x)$の積分は部分積分を用いる。

$u = \arctan(x), dv = dx$ とすると、

$du = \frac{1}{1+x^2} dx, v = x$

$\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2} dx$

$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\log(1+x^2)$

よって、$f = x\arctan(x) - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$ ($C$は積分定数)

## 最終的な答え

(1) $f = -x + C_1$, $f = -3x + C_2$ ($C_1$, $C_2$ は積分定数)

(2) $f = -e^{-x-2} + C$ ($C$ は積分定数)

(3) $f = x\arctan(x) - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$ ($C$ は積分定数)