関数 $f(x) = x^3 - x$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ について、以下の問いに答える。 (1) $C$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求める。 (2) $t \ne t'$ のとき、点 $(t, f(t))$ における接線と点 $(t', f(t'))$ における接線が異なることを示す。 (3) 点 $(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$ を通る $C$ の接線の方程式をすべて求める。 (4) 点 $(u, v)$ を通る $C$ の接線が3本存在するための $u, v$ が満たすべき条件を求め、その条件を満たす点 $(u, v)$ の存在範囲を図示する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - x$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ について、以下の問いに答える。

(1) $C$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求める。

(2) $t \ne t'$ のとき、点 $(t, f(t))$ における接線と点 $(t', f(t'))$ における接線が異なることを示す。

(3) 点 $(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$ を通る $C$ の接線の方程式をすべて求める。

(4) 点 $(u, v)$ を通る $C$ の接線が3本存在するための $u, v$ が満たすべき条件を求め、その条件を満たす点 $(u, v)$ の存在範囲を図示する。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^3 - x$ より、$f'(x) = 3x^2 - 1$ である。

点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は

$y - f(t) = f'(t) (x - t)$

$y - (t^3 - t) = (3t^2 - 1) (x - t)$

$y = (3t^2 - 1) x - 3t^3 + t + t^3 - t$

$y = (3t^2 - 1) x - 2t^3$

(2)

点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は、$y = (3t^2 - 1) x - 2t^3$ である。

$t \ne t'$ のとき、点 $(t', f(t'))$ における接線の方程式は、$y = (3t'^2 - 1) x - 2t'^3$ である。

この2つの接線が一致すると仮定すると、

$3t^2 - 1 = 3t'^2 - 1$ かつ $-2t^3 = -2t'^3$

$3t^2 = 3t'^2$ かつ $t^3 = t'^3$

$t^2 = t'^2$ かつ $t^3 = t'^3$

$t = t'$ または $t = -t'$

$t^3 = t'^3$ より、$t = t'$

したがって、 $t \ne t'$ のとき、2つの接線は異なる。

(3)

接線 $y = (3t^2 - 1) x - 2t^3$ が点 $(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$ を通るから、

$-\frac{2}{3} = (3t^2 - 1) \frac{2}{3} - 2t^3$

$-2 = (3t^2 - 1) 2 - 6t^3$

$-2 = 6t^2 - 2 - 6t^3$

$6t^3 - 6t^2 = 0$

$6t^2 (t - 1) = 0$

$t = 0, 1$

$t = 0$ のとき、接線は $y = -x$

$t = 1$ のとき、接線は $y = 2x - 2$

(4)

点 $(u, v)$ を通る接線の方程式は $y = (3t^2 - 1) x - 2t^3$ であるから、

$v = (3t^2 - 1) u - 2t^3$

$2t^3 - 3ut^2 + u + v = 0$

$g(t) = 2t^3 - 3ut^2 + u + v$ とおく。

$g(t) = 0$ が異なる3つの実数解を持つための条件を求める。

$g'(t) = 6t^2 - 6ut = 6t(t - u)$

$g'(t) = 0$ となるのは、$t = 0, u$

$u > 0$ のとき、$g(0) = u + v > 0$ かつ $g(u) = 2u^3 - 3u^3 + u + v = -u^3 + u + v < 0$

$u < 0$ のとき、$g(0) = u + v < 0$ かつ $g(u) = -u^3 + u + v > 0$

したがって、$g(0) g(u) < 0$ より、 $(u + v) (-u^3 + u + v) < 0$

$(u + v) (u^3 - u - v) > 0$

$v > -u$ かつ $v < u^3 - u$ または $v < -u$ かつ $v > u^3 - u$

3. 最終的な答え

(1) $y = (3t^2 - 1)x - 2t^3$

(2) 異なる

(3) $y = -x$, $y = 2x - 2$

(4) $(u + v)(u^3 - u - v) > 0$ であり、$v > -u$ かつ $v < u^3 - u$ または $v < -u$ かつ $v > u^3 - u$

グラフは $y = x^3 - x$ と $y = -x$ で囲まれた領域。