(1) $y = 2x^3 + 3x^2 + 1$ の極値を求める。 (2) $y = -x^3 - 3x^2 - 1$ の極値を求める。

はい、承知いたしました。問題文に記載されている2つの関数について、極値を求めます。グラフはここでは描画できませんので、極値を求めることに集中します。

1. 問題の内容

(1) $y = 2x^3 + 3x^2 + 1$ の極値を求める。

(2) $y = -x^3 - 3x^2 - 1$ の極値を求める。

2. 解き方の手順

極値を求めるには、まず関数を微分し、その導関数が0になる点を求めます。次に、その点における2次導関数の符号を調べることで、極大値か極小値かを判断します。

(1) $y = 2x^3 + 3x^2 + 1$ の場合：

まず、1次導関数を求めます。

$y' = 6x^2 + 6x$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x^2 + 6x = 0$

$6x(x+1) = 0$

$x = 0, -1$

次に、2次導関数を求めます。

$y'' = 12x + 6$

$x = 0$ のとき、$y'' = 6 > 0$ なので、極小値をとります。その時の $y$ の値は、$y = 2(0)^3 + 3(0)^2 + 1 = 1$ です。

$x = -1$ のとき、$y'' = -12 + 6 = -6 < 0$ なので、極大値をとります。その時の $y$ の値は、$y = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 1 = -2 + 3 + 1 = 2$ です。

(2) $y = -x^3 - 3x^2 - 1$ の場合：

まず、1次導関数を求めます。

$y' = -3x^2 - 6x$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 - 6x = 0$

$-3x(x + 2) = 0$

$x = 0, -2$

次に、2次導関数を求めます。

$y'' = -6x - 6$

$x = 0$ のとき、$y'' = -6 < 0$ なので、極大値をとります。その時の $y$ の値は、$y = -(0)^3 - 3(0)^2 - 1 = -1$ です。

$x = -2$ のとき、$y'' = -6(-2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0$ なので、極小値をとります。その時の $y$ の値は、$y = -(-2)^3 - 3(-2)^2 - 1 = -(-8) - 3(4) - 1 = 8 - 12 - 1 = -5$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^3 + 3x^2 + 1$ の極値：

- $x = -1$ で極大値 $2$

- $x = 0$ で極小値 $1$

(2) $y = -x^3 - 3x^2 - 1$ の極値：

- $x = 0$ で極大値 $-1$

- $x = -2$ で極小値 $-5$