与えられた積分 $\int \frac{x-1}{x^2+2x+6} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x-1}{x^2+2x+6} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、分子を分母の微分の形に近づけることを考えます。分母 $x^2 + 2x + 6$ の微分は $2x + 2$ です。そこで、分子 $x - 1$ を $a(2x + 2) + b$ の形に変形することを試みます。

$x - 1 = a(2x + 2) + b = 2ax + 2a + b$

係数を比較すると、

$2a = 1$ より $a = \frac{1}{2}$

$2a + b = -1$ より $2(\frac{1}{2}) + b = -1$ なので $1 + b = -1$ より $b = -2$

したがって、

$x - 1 = \frac{1}{2}(2x + 2) - 2$

元の積分は、

$\int \frac{x-1}{x^2+2x+6} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+2)-2}{x^2+2x+6} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{x^2+2x+6} dx - 2 \int \frac{1}{x^2+2x+6} dx$

ここで、

$\int \frac{2x+2}{x^2+2x+6} dx = \int \frac{(x^2+2x+6)'}{x^2+2x+6} dx = \ln|x^2+2x+6| + C_1$

また、

$\int \frac{1}{x^2+2x+6} dx = \int \frac{1}{(x+1)^2+5} dx$

$x+1 = \sqrt{5}\tan\theta$ と置換すると、$dx = \sqrt{5} \sec^2 \theta d\theta$

$\int \frac{1}{(x+1)^2+5} dx = \int \frac{\sqrt{5}\sec^2\theta}{5\tan^2\theta+5} d\theta = \int \frac{\sqrt{5}\sec^2\theta}{5\sec^2\theta} d\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \int d\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}\theta + C_2$

$\theta = \arctan(\frac{x+1}{\sqrt{5}})$ より

$\int \frac{1}{x^2+2x+6} dx = \frac{1}{\sqrt{5}}\arctan(\frac{x+1}{\sqrt{5}}) + C_2$

したがって、

$\int \frac{x-1}{x^2+2x+6} dx = \frac{1}{2} \ln|x^2+2x+6| - \frac{2}{\sqrt{5}}\arctan(\frac{x+1}{\sqrt{5}}) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln(x^2+2x+6) - \frac{2}{\sqrt{5}}\arctan\left(\frac{x+1}{\sqrt{5}}\right) + C$