与えられた微分方程式 $yy'' = (y')^2$ を解く問題です。ここで、$y'$ は $y$ の一階微分を、$y''$ は $y$ の二階微分を表します。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $yy'' = (y')^2$ を解く問題です。ここで、$y'$ は $y$ の一階微分を、$y''$ は $y$ の二階微分を表します。

2. 解き方の手順

まず、$y' = p$ と置き、$y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}$ となります。与えられた微分方程式は、

$yp\frac{dp}{dy} = p^2$

と書き換えることができます。

次に、両辺を$p$で割ると（$p = 0$ の場合は後で考慮）、

$y \frac{dp}{dy} = p$

$\frac{dp}{p} = \frac{dy}{y}$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dp}{p} = \int \frac{dy}{y}$

$\ln|p| = \ln|y| + C_1$

$\ln|p| = \ln|y| + \ln|c_1|$ （$C_1 = \ln|c_1|$ と置換）

$\ln|p| = \ln|c_1 y|$

$p = c_1 y$

$y' = c_1 y$

変数分離を行うと、

$\frac{dy}{y} = c_1 dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{y} = \int c_1 dx$

$\ln|y| = c_1 x + C_2$

$\ln|y| = c_1 x + \ln|c_2|$ （$C_2 = \ln|c_2|$ と置換）

$\ln|y| = \ln|e^{c_1 x} c_2|$

$y = c_2 e^{c_1 x}$

次に、$p=0$の場合を考えます。$y' = 0$ なので、$y=c$ ($c$は定数)です。これを元の微分方程式に代入すると、$c \cdot 0 = 0^2$となり、これは常に成り立ちます。したがって、$y = c$ も解となります。 これは、$y = c_2 e^{c_1 x}$ において、$c_1=0$ の場合に相当します。

3. 最終的な答え

$y = c_2 e^{c_1 x}$ (ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数)