与えられた4つの二変数関数 $f(x,y)$ に対して、$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの二変数関数 $f(x,y)$ に対して、$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x,y) = \frac{3x^2+5y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$

極座標変換 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ を行うと、$x^2+y^2=r^2$ となります。

$f(x,y) = \frac{3r^2\cos^2\theta+5r^2\sin^2\theta}{r} = 3r\cos^2\theta + 5r\sin^2\theta = r(3\cos^2\theta + 5\sin^2\theta)$.

$(x,y) \to (0,0)$ のとき $r \to 0$ なので、

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim_{r \to 0} r(3\cos^2\theta + 5\sin^2\theta) = 0$.

なぜなら、$3\cos^2\theta + 5\sin^2\theta$ は有界だからです。

(2) $f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2+y^4}$

$x=y^2$ に沿って近づくと、

$f(y^2,y) = \frac{y^2 \cdot y^2}{(y^2)^2+y^4} = \frac{y^4}{y^4+y^4} = \frac{y^4}{2y^4} = \frac{1}{2}$.

$x=0$ に沿って近づくと、

$f(0,y) = \frac{0}{0+y^4} = 0$.

異なる近づき方で異なる値に収束するので、極限は存在しません。

(3) $f(x,y) = \frac{x^5}{(y-x^2)^2+x^6}$

$y = x^2$ に沿って近づくと、

$f(x,x^2) = \frac{x^5}{0^2+x^6} = \frac{x^5}{x^6} = \frac{1}{x}$.

$(x,y) \to (0,0)$ のとき $x \to 0$ なので、$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}$ は存在しません。

よって極限は存在しません。

(4) $f(x,y) = \frac{x^4y^2}{(x^6+y^3)^2+x^8}$

$y = ax^2$ に沿って近づくと、

$f(x,ax^2) = \frac{x^4(ax^2)^2}{(x^6+(ax^2)^3)^2+x^8} = \frac{a^2x^8}{(x^6+a^3x^6)^2+x^8} = \frac{a^2x^8}{(1+a^3)^2x^{12}+x^8} = \frac{a^2x^8}{x^8((1+a^3)^2x^4+1)} = \frac{a^2}{(1+a^3)^2x^4+1}$.

$(x,y) \to (0,0)$ のとき $x \to 0$ なので、

$\lim_{x\to 0} \frac{a^2}{(1+a^3)^2x^4+1} = a^2$.

$a=0$ とすると$y=0$に沿って近づくことになるから$\lim_{x \to 0} f(x,0)=0$となる.

一方、$a=1$とすると$y=x^2$に沿って近づくことになり$\lim_{x \to 0} f(x,x^2)=\frac{1}{4}$となる。

よって極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 存在しない

(3) 存在しない

(4) 存在しない