関数 $y = 2\sin{x}\cos{x} + \sin{x} + \cos{x}$ について、以下の問いに答える。 (1) $t = \sin{x} + \cos{x}$ とするとき、$y$ を $t$ の関数で表せ。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) $y$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin{x}\cos{x} + \sin{x} + \cos{x}$ について、以下の問いに答える。

(1) $t = \sin{x} + \cos{x}$ とするとき、$y$ を $t$ の関数で表せ。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $y$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y$ を $t$ の関数で表す。

$t = \sin{x} + \cos{x}$ より、両辺を2乗すると

$t^2 = (\sin{x} + \cos{x})^2 = \sin^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = 1 + 2\sin{x}\cos{x}$

よって、$2\sin{x}\cos{x} = t^2 - 1$ となる。

これを $y$ に代入すると

$y = t^2 - 1 + t = t^2 + t - 1$

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。

$t = \sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$

$-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$ であるから

$-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

よって、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(3) $y$ の最大値と最小値を求める。

$y = t^2 + t - 1 = (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

$t$ の範囲は $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ である。

軸 $t = -\frac{1}{2}$ はこの範囲に含まれる。

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、最小値 $y = -\frac{5}{4}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、最大値 $y = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 = 2 + \sqrt{2} - 1 = 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = t^2 + t - 1$

(2) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(3) 最大値: $1 + \sqrt{2}$, 最小値: $-\frac{5}{4}$