与えられた関数 $y = \frac{x}{\sqrt{x}+1}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x}{\sqrt{x}+1}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使う。商の微分公式は、

$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

である。

ここでは $u = x$、 $v = \sqrt{x} + 1$ とおく。

まず、$u$ の微分を計算する。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$

次に、$v$ の微分を計算する。

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x} + 1) = \frac{d}{dx}(x^{1/2} + 1) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

これらの結果を商の微分公式に代入する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\sqrt{x}+1)(1) - x(\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x}+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x}+1 - \frac{x}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x}+1 - \frac{\sqrt{x}}{2}}{(\sqrt{x}+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{2}\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\sqrt{x}+2}{2}}{(\sqrt{x}+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x}+2}{2(\sqrt{x}+1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x}+2}{2(\sqrt{x}+1)^2}$