$0 < x < \frac{\pi}{4}$ を満たすすべての $x$ に対して、不等式 $\sin 3x + t \sin 2x > 0$ が成り立つような $t$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ を満たすすべての $x$ に対して、不等式 $\sin 3x + t \sin 2x > 0$ が成り立つような $t$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $\sin 3x + t \sin 2x > 0$ を変形します。

$x$ の範囲が $0 < x < \frac{\pi}{4}$ なので、$\sin 2x > 0$ であることに注意すると、

$$t > -\frac{\sin 3x}{\sin 2x}$$

が成り立ちます。

$f(x) = -\frac{\sin 3x}{\sin 2x}$ とおき、$0 < x < \frac{\pi}{4}$ における $f(x)$ の最大値を求めます。

$f(x) = -\frac{\sin 3x}{\sin 2x} = -\frac{3 \sin x - 4 \sin^3 x}{2 \sin x \cos x} = -\frac{3 - 4 \sin^2 x}{2 \cos x}$ となります。

ここで、$t > f(x)$ が $0 < x < \frac{\pi}{4}$ で常に成り立つためには、$t$ が $f(x)$ の最大値より大きければよいことが分かります。

$g(x) = \frac{3 - 4 \sin^2 x}{2 \cos x}$ とおくと、$f(x) = -g(x)$ なので、$g(x)$ の最小値を求めれば、$f(x)$ の最大値が求まります。

$g'(x) = \frac{(-8 \sin x \cos x)(2 \cos x) - (3 - 4 \sin^2 x)(-2 \sin x)}{(2 \cos x)^2} = \frac{-16 \sin x \cos^2 x + 6 \sin x - 8 \sin^3 x}{4 \cos^2 x} = \frac{-16 \sin x (1 - \sin^2 x) + 6 \sin x - 8 \sin^3 x}{4 \cos^2 x} = \frac{-16 \sin x + 16 \sin^3 x + 6 \sin x - 8 \sin^3 x}{4 \cos^2 x} = \frac{8 \sin^3 x - 10 \sin x}{4 \cos^2 x} = \frac{2 \sin x (4 \sin^2 x - 5)}{4 \cos^2 x}$

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ において、$\sin x > 0$ であり、$4 \sin^2 x - 5 < 0$ なので、$g'(x) < 0$ となります。

したがって、$g(x)$ は単調減少関数なので、最小値は $x = \frac{\pi}{4}$ のときに取ります。

$g(\frac{\pi}{4}) = \frac{3 - 4 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{3 - 2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$f(x)$ の最大値は $-g(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

したがって、$t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

$t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$