与えられた三角関数の問題を解く問題です。具体的には、角度の単位変換、三角関数の値の計算、三角関数を含む方程式と不等式の解、加法定理の応用、三角関数の合成に関する問題が出題されています。

はい、承知いたしました。問題文を読み取り、各問題について解答と手順を説明します。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の問題を解く問題です。具体的には、角度の単位変換、三角関数の値の計算、三角関数を含む方程式と不等式の解、加法定理の応用、三角関数の合成に関する問題が出題されています。

2. 解き方の手順

(1) 200°を弧度法で表す。

角度を度からラジアンに変換するには、$\frac{\pi}{180}$ を掛けます。

$200 \times \frac{\pi}{180} = \frac{10\pi}{9}$

(2) $\cos(-\frac{\pi}{4})$ の値を求める。

$\cos(-x) = \cos(x)$ の性質を利用します。

$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $0 \le \theta < 2\pi$ において、$\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ の値を求める。

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は、第3象限と第4象限にあります。

$\theta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(4) $0 \le \theta < 2\pi$ において、$\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ です。

$\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$0 \le \theta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < \theta < 2\pi$ の範囲です。

(5) $\tan \alpha = 3, \tan \beta = 2$ のとき、$\tan(\alpha - \beta)$ の値を求める。

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$ の公式を利用します。

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{3 - 2}{1 + 3 \times 2} = \frac{1}{7}$

(6) $\sin \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos 2\theta$ の値を求める。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ の公式を利用します。

$\cos 2\theta = 1 - 2(\frac{1}{4})^2 = 1 - 2 \times \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

(7) $3\sin \theta + 3\sqrt{3}\cos \theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。

$r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha) = (r\cos \alpha) \sin \theta + (r\sin \alpha) \cos \theta$

$r\cos \alpha = 3$ かつ $r\sin \alpha = 3\sqrt{3}$ となる $r$ と $\alpha$ を求めます。

$r^2 = (3)^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36$ より $r = 6$

$\tan \alpha = \frac{r\sin \alpha}{r\cos \alpha} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ より $\alpha = \frac{\pi}{3}$

したがって、$3\sin \theta + 3\sqrt{3}\cos \theta = 6\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{10\pi}{9}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\theta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(4) $0 \le \theta < \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} < \theta < 2\pi$

(5) $\frac{1}{7}$

(6) $\frac{7}{8}$

(7) $6\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$