与えられた関数 $y = (4x^2 - 5x + 1)e^x$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (4x^2 - 5x + 1)e^x$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

積の微分法則を利用します。積の微分法則とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の導関数が、

$\frac{d}{dx}(u(x)v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = 4x^2 - 5x + 1$ および $v(x) = e^x$ とおきます。

まず、$u(x)$ の導関数 $u'(x)$ を計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2 - 5x + 1) = 8x - 5$

次に、$v(x)$ の導関数 $v'(x)$ を計算します。

$v'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

積の微分法則を適用すると、

$\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (8x - 5)e^x + (4x^2 - 5x + 1)e^x$

$e^x$ でくくると、

$\frac{dy}{dx} = e^x(8x - 5 + 4x^2 - 5x + 1) = e^x(4x^2 + 3x - 4)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (4x^2 + 3x - 4)e^x$