$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解く問題です。 (1) $\sin 2x = \sin x$ (2) $\cos 2x < \sin x + 1$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解く問題です。

(1) $\sin 2x = \sin x$

(2) $\cos 2x < \sin x + 1$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 2x = \sin x$ の場合

倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いると、

$2 \sin x \cos x = \sin x$

$\sin x (2 \cos x - 1) = 0$

よって、$\sin x = 0$ または $2 \cos x - 1 = 0$

$\sin x = 0$ のとき、$x = 0, \pi$

$\cos x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

したがって、$x = 0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$

(2) $\cos 2x < \sin x + 1$ の場合

倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、

$1 - 2\sin^2 x < \sin x + 1$

$0 < 2\sin^2 x + \sin x$

$0 < \sin x (2 \sin x + 1)$

したがって、$\sin x > 0$ かつ $2 \sin x + 1 > 0$ または $\sin x < 0$ かつ $2 \sin x + 1 < 0$ が成り立つ必要があります。

まず、$\sin x > 0$ かつ $2 \sin x + 1 > 0$ の場合を考えると、

$\sin x > 0$ かつ $\sin x > -\frac{1}{2}$ となるので、$\sin x > 0$ となります。

これは、$0 < x < \pi$ を意味します。

次に、$\sin x < 0$ かつ $2 \sin x + 1 < 0$ の場合を考えると、

$\sin x < 0$ かつ $\sin x < -\frac{1}{2}$ となるので、$\sin x < -\frac{1}{2}$ となります。

これは、$\pi + \frac{\pi}{6} < x < 2\pi - \frac{\pi}{6}$ すなわち $\frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{6}$ を意味します。

したがって、解は $0 < x < \pi$ または $\frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$

(2) $0 < x < \pi$ または $\frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{6}$