関数 $y = (\log_3 3x)(\log_3 \frac{x}{27})$ の最大値と最小値を、$\frac{1}{3} \le x \le 27$ の範囲で求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (\log_3 3x)(\log_3 \frac{x}{27})$ の最大値と最小値を、$\frac{1}{3} \le x \le 27$ の範囲で求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を簡単にします。

$\log_3 3x = \log_3 3 + \log_3 x = 1 + \log_3 x$

$\log_3 \frac{x}{27} = \log_3 x - \log_3 27 = \log_3 x - 3$

ここで、 $t = \log_3 x$ と置換すると、関数は以下のように書き換えられます。

$y = (1+t)(t-3) = t^2 - 2t - 3$

これは $t$ に関する二次関数なので、平方完成することで頂点を求めます。

$y = (t-1)^2 - 4$

次に、$t$ の範囲を求めます。$x$ の範囲が $\frac{1}{3} \le x \le 27$ なので、対数をとると以下のようになります。

$\log_3 \frac{1}{3} \le \log_3 x \le \log_3 27$

$-1 \le t \le 3$

$t$ の範囲内で二次関数の最大値と最小値を求めます。

$t = 1$ のとき、 $y = -4$ （最小値）

$t = -1$ のとき、$y = (-1-1)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

$t = 3$ のとき、$y = (3-1)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

したがって、$t = -1$ または $t = 3$ のとき、$y=0$（最大値）

3. 最終的な答え

最大値: 0

最小値: -4