与えられた関数 $y = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$ の導関数 $y'$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$ の導関数 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

ここで、$u = x$ 、 $v = \sqrt{x+1}$ とします。

まず、$u'$ と $v'$ を計算します。

$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$

$v = \sqrt{x+1} = (x+1)^{1/2}$ であるから、合成関数の微分公式を用いて$v'$ を計算します。

$v' = \frac{d}{dx}(x+1)^{1/2} = \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x+1) = \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

次に、商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{1 \cdot \sqrt{x+1} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{(\sqrt{x+1})^2} = \frac{\sqrt{x+1} - \frac{x}{2\sqrt{x+1}}}{x+1}$

分子を整理します。

$y' = \frac{\frac{2(x+1) - x}{2\sqrt{x+1}}}{x+1} = \frac{2x+2 - x}{2\sqrt{x+1}(x+1)} = \frac{x+2}{2(x+1)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{x+2}{2(x+1)^{3/2}}$