次の微分方程式の解を級数の形で求めます。 1. $\frac{dy}{dx} = xy + 1 \quad (x=0, y=0)$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の微分方程式の解を級数の形で求めます。

1. $\frac{dy}{dx} = xy + 1 \quad (x=0, y=0)$

2. $\frac{dy}{dx} = 2xy + x \quad (x=0, y=1)$

2. 解き方の手順

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1. $\frac{dy}{dx} = xy + 1 \quad (x=0, y=0)$**

解を級数の形で $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ と仮定します。

初期条件 $y(0) = 0$ より、$a_0 = 0$ です。

微分すると $\frac{dy}{dx} = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ となります。

これらを微分方程式に代入すると、

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = x \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n + 1$

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1} + 1$

左辺の級数のindexを $k=n-1$、右辺の級数のindexを $k=n+1$ と変換すると、

$\sum_{k=0}^{\infty} (k+1) a_{k+1} x^k = \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} x^k + 1$

$a_1 + \sum_{k=1}^{\infty} (k+1) a_{k+1} x^k = \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} x^k + 1$

定数項を比較すると $a_1 = 1$。

$x^k$ の係数を比較すると $(k+1) a_{k+1} = a_{k-1}$ となります。

よって、$a_{k+1} = \frac{a_{k-1}}{k+1}$ ($k \ge 1$)

$a_0 = 0$ より、$a_2 = \frac{a_0}{2} = 0$、同様に $a_4 = a_6 = \dots = 0$ となります。

$a_1 = 1$ より、$a_3 = \frac{a_1}{3} = \frac{1}{3}$、$a_5 = \frac{a_3}{5} = \frac{1}{3 \cdot 5}$、$a_7 = \frac{a_5}{7} = \frac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7}$ となります。

したがって、$a_{2n+1} = \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n+1)} = \frac{2^n n!}{(2n+1)!}$

よって、$y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n+1)} x^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n n!}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

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2. $\frac{dy}{dx} = 2xy + x \quad (x=0, y=1)$**

解を級数の形で $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ と仮定します。

初期条件 $y(0) = 1$ より、$a_0 = 1$ です。

微分すると $\frac{dy}{dx} = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ となります。

これらを微分方程式に代入すると、

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = 2x \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n + x$

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} 2 a_n x^{n+1} + x$

左辺の級数のindexを $k=n-1$、右辺の級数のindexを $k=n+1$ と変換すると、

$\sum_{k=0}^{\infty} (k+1) a_{k+1} x^k = \sum_{k=1}^{\infty} 2 a_{k-1} x^k + x$

$a_1 + \sum_{k=1}^{\infty} (k+1) a_{k+1} x^k = \sum_{k=1}^{\infty} 2 a_{k-1} x^k + x$

定数項を比較すると $a_1 = 0$。

$x$ の係数を比較すると $2a_2 = 2a_0 + 1$ より $a_2 = \frac{2a_0+1}{2} = \frac{2(1)+1}{2} = \frac{3}{2}$

$x^k$ の係数を比較すると $(k+1) a_{k+1} = 2 a_{k-1}$ ($k \ge 2$) となります。

よって、$a_{k+1} = \frac{2 a_{k-1}}{k+1}$ ($k \ge 2$)

$a_1 = 0$ より、$a_3 = \frac{2a_1}{3} = 0$、同様に $a_5 = a_7 = \dots = 0$ となります。

$a_0 = 1$ より、$a_2 = \frac{2a_0}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$、$a_4 = \frac{2a_2}{4} = \frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{4} = \frac{3}{4}$、$a_6 = \frac{2a_4}{6} = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{6} = \frac{1}{4}$となります。

したがって、$a_{2n}$を求めるのは難しいです。

もしくは、微分方程式を解くと、$\frac{dy}{dx} - 2xy = x$

積分因子 $e^{\int -2x dx} = e^{-x^2}$

$ye^{-x^2} = \int xe^{-x^2} dx = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C$

$y = -\frac{1}{2} + Ce^{x^2}$

初期条件 $y(0) = 1$ より、$1 = -\frac{1}{2} + C$、$C = \frac{3}{2}$

よって、$y = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} e^{x^2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} = 1 + \frac{3}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!}$

$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$

$a_0 = 1$, $a_1 = 0$, $a_2 = \frac{3}{2}$, $a_3=0$, $a_4 = \frac{3}{4}, \dots$

$a_{2n} = \frac{3}{2n!}$ for $n > 0$

3. 最終的な答え

1. $y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n n!}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

2. $y = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} e^{x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$, where $a_{2n} = \frac{3}{2n!}$ for $n > 0$, and $a_1 = a_3 = a_5 = \dots = 0$