以下の2階線形非同次微分方程式の一般解を求めます。 $y'' - \frac{3}{x}y' + \frac{3}{x^2}y = x^3$ ただし、斉次方程式の解として $x$ と $x^3$ が与えられています。

はい、承知いたしました。微分方程式の問題ですね。いくつか問題が並んでいますが、今回は (5) の問題を解いてみます。

1. 問題の内容

以下の2階線形非同次微分方程式の一般解を求めます。

$y'' - \frac{3}{x}y' + \frac{3}{x^2}y = x^3$

ただし、斉次方程式の解として $x$ と $x^3$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた斉次解を用いて、定数変化法により非同次方程式の特殊解を求めます。

斉次方程式の基本解を $y_1 = x$、$y_2 = x^3$ とします。ロンスキアン $W$ は次のようになります。

$W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & x^3 \\ 1 & 3x^2 \end{vmatrix} = 3x^3 - x^3 = 2x^3$

定数変化法により、特殊解 $y_p$ は次の形で表されます。

$y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 = u_1 x + u_2 x^3$

ここで、$u_1$ と $u_2$ は以下の式を満たします。

$u_1' = -\frac{y_2 f(x)}{W} = -\frac{x^3 \cdot x^3}{2x^3} = -\frac{x^3}{2}$

$u_2' = \frac{y_1 f(x)}{W} = \frac{x \cdot x^3}{2x^3} = \frac{x}{2}$

したがって、$u_1$ と $u_2$ は積分することで求まります。

$u_1 = \int -\frac{x^3}{2} dx = -\frac{x^4}{8}$

$u_2 = \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{4}$

これらを代入して、特殊解 $y_p$ は次のようになります。

$y_p = -\frac{x^4}{8} x + \frac{x^2}{4} x^3 = -\frac{x^5}{8} + \frac{x^5}{4} = \frac{x^5}{8}$

一般解は、斉次方程式の一般解と特殊解の和で表されます。

$y = c_1 x + c_2 x^3 + \frac{x^5}{8}$

3. 最終的な答え

$y = c_1 x + c_2 x^3 + \frac{x^5}{8}$

ただし、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。