次の定積分を求めます。 (1) $\int_{1}^{e} x^3 \log x \, dx$ (2) $\int_{0}^{\log 2} e^x (e^x + 1)^2 \, dx$ (3) $\int_{0}^{1} \arctan x \, dx$ (4) $\int_{0}^{2} (2-x) e^{2x} \, dx$ (5) $\int_{0}^{1/2} \sqrt{1-x^2} \, dx$ (6) $\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{\cos x}{1+\sin x} \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めます。

(1) $\int_{1}^{e} x^3 \log x \, dx$

(2) $\int_{0}^{\log 2} e^x (e^x + 1)^2 \, dx$

(3) $\int_{0}^{1} \arctan x \, dx$

(4) $\int_{0}^{2} (2-x) e^{2x} \, dx$

(5) $\int_{0}^{1/2} \sqrt{1-x^2} \, dx$

(6) $\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{\cos x}{1+\sin x} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{e} x^3 \log x \, dx$

部分積分を用います。$u = \log x$, $dv = x^3 \, dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^4}{4}$ となります。

$\int_{1}^{e} x^3 \log x \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \log x \right]_1^e - \int_{1}^{e} \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \frac{e^4}{4} \log e - \frac{1^4}{4} \log 1 - \frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^3 \, dx$

$= \frac{e^4}{4} - 0 - \frac{1}{4} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_1^e$

$= \frac{e^4}{4} - \frac{1}{16} (e^4 - 1)$

$= \frac{4e^4 - e^4 + 1}{16} = \frac{3e^4+1}{16}$

(2) $\int_{0}^{\log 2} e^x (e^x + 1)^2 \, dx$

$t = e^x + 1$ と置換すると、$dt = e^x \, dx$ となります。

$x=0$ のとき $t = e^0 + 1 = 1 + 1 = 2$.

$x = \log 2$ のとき $t = e^{\log 2} + 1 = 2 + 1 = 3$.

$\int_{0}^{\log 2} e^x (e^x + 1)^2 \, dx = \int_{2}^{3} t^2 \, dt$

$= \left[ \frac{t^3}{3} \right]_2^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{2^3}{3}$

$= \frac{27 - 8}{3} = \frac{19}{3}$

(3) $\int_{0}^{1} \arctan x \, dx$

部分積分を用います。$u = \arctan x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$, $v = x$ となります。

$\int_{0}^{1} \arctan x \, dx = \left[ x \arctan x \right]_0^1 - \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \, dx$

$= 1 \cdot \arctan 1 - 0 \cdot \arctan 0 - \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \, dx$

$= \frac{\pi}{4} - \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \, dx$

$w = 1+x^2$ と置換すると、$dw = 2x \, dx$ となります。

$x=0$ のとき $w = 1+0^2 = 1$.

$x=1$ のとき $w = 1+1^2 = 2$.

$\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{2w} \, dw$

$= \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{w} \, dw = \frac{1}{2} [\log w]_1^2$

$= \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2$

よって、$\int_{0}^{1} \arctan x \, dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$

(4) $\int_{0}^{2} (2-x) e^{2x} \, dx$

$\int_{0}^{2} (2-x) e^{2x} \, dx = \int_{0}^{2} 2e^{2x} \, dx - \int_{0}^{2} x e^{2x} \, dx$

$= \left[ e^{2x} \right]_0^2 - \int_{0}^{2} x e^{2x} \, dx$

$= e^4 - e^0 - \int_{0}^{2} x e^{2x} \, dx$

$= e^4 - 1 - \int_{0}^{2} x e^{2x} \, dx$

部分積分を用います。$u = x$, $dv = e^{2x} \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = \frac{1}{2} e^{2x}$ となります。

$\int_{0}^{2} x e^{2x} \, dx = \left[ \frac{x}{2} e^{2x} \right]_0^2 - \int_{0}^{2} \frac{1}{2} e^{2x} \, dx$

$= \frac{2}{2} e^4 - 0 - \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_0^2$

$= e^4 - \frac{1}{4} (e^4 - e^0) = e^4 - \frac{1}{4} e^4 + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} e^4 + \frac{1}{4}$

よって、$\int_{0}^{2} (2-x) e^{2x} \, dx = e^4 - 1 - \left( \frac{3}{4} e^4 + \frac{1}{4} \right)$

$= \frac{1}{4} e^4 - \frac{5}{4}$

(5) $\int_{0}^{1/2} \sqrt{1-x^2} \, dx$

$x = \sin \theta$ と置換すると、$dx = \cos \theta \, d\theta$ となります。

$x=0$ のとき $\sin \theta = 0$ より $\theta = 0$.

$x=1/2$ のとき $\sin \theta = 1/2$ より $\theta = \pi/6$.

$\int_{0}^{1/2} \sqrt{1-x^2} \, dx = \int_{0}^{\pi/6} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta \, d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/6} \cos^2 \theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/6} \frac{1+\cos 2\theta}{2} \, d\theta$

$= \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_0^{\pi/6}$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{3} - 0 - 0 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}$

(6) $\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{\cos x}{1+\sin x} \, dx$

$t = 1+\sin x$ と置換すると、$dt = \cos x \, dx$ となります。

$x = -\pi/3$ のとき $t = 1 + \sin (-\pi/3) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$x = \pi/3$ のとき $t = 1 + \sin (\pi/3) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{\cos x}{1+\sin x} \, dx = \int_{1-\sqrt{3}/2}^{1+\sqrt{3}/2} \frac{1}{t} \, dt$

$= \left[ \log |t| \right]_{1-\sqrt{3}/2}^{1+\sqrt{3}/2} = \log \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \log \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

$= \log \left( \frac{1 + \sqrt{3}/2}{1 - \sqrt{3}/2} \right) = \log \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \right) = \log \left( \frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3} \right)$

$= \log (4 + 4\sqrt{3} + 3) = \log (7 + 4\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3e^4+1}{16}$

(2) $\frac{19}{3}$

(3) $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$

(4) $\frac{e^4}{4} - \frac{5}{4}$

(5) $\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}$

(6) $\log (7 + 4\sqrt{3})$