関数 $y = \sin x \cos x - \sin^2 x + \frac{1}{2}$ の、$0 \le x \le \pi$ における最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x \cos x - \sin^2 x + \frac{1}{2}$ の、$0 \le x \le \pi$ における最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形します。

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

したがって、

$y = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x$

$y = \frac{1}{2} (\sin 2x + \cos 2x)$

三角関数の合成を行います。

$y = \frac{1}{2} \sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$

$0 \le x \le \pi$ より、$0 \le 2x \le 2\pi$ であり、$\frac{\pi}{4} \le 2x + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、$\sin(2x + \frac{\pi}{4})$ の範囲は $[-1, 1]$ となります。

最大値をとるのは $\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = 1$ のときで、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ より、$2x = \frac{\pi}{4}$ なので、$x = \frac{\pi}{8}$ のとき、最大値 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ をとります。

最小値をとるのは $\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$ のときで、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ より、$2x = \frac{5\pi}{4}$ なので、$x = \frac{5\pi}{8}$ のとき、最小値 $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ をとります。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ($x = \frac{\pi}{8}$ のとき)

最小値: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ($x = \frac{5\pi}{8}$ のとき)