与えられた4つの広義積分の値を計算する問題です。 (1) $\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx$ (2) $\int_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx$ (3) $\int_{0}^{1} x^{-1/3} dx$ (4) $\int_{0}^{1} \frac{1}{(1-x)^{2/3}} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの広義積分の値を計算する問題です。

(1) $\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

(2) $\int_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx$

(3) $\int_{0}^{1} x^{-1/3} dx$

(4) $\int_{0}^{1} \frac{1}{(1-x)^{2/3}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx$ を計算します。

$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。

したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

積分範囲は、$x=1$ のとき $u=1$、$x \to \infty$ のとき $u \to \infty$ となります。

よって、

$\int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} dx = \int_{1}^{\infty} e^{-u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_{1}^{\infty} = \frac{1}{2} [0 - (-e^{-1})] = \frac{1}{2e}$

(2) $\int_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx$ を計算します。

$\int_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx = [-2x^{-1/2}]_{1}^{\infty} = -2 (\lim_{x \to \infty} x^{-1/2} - 1^{-1/2}) = -2 (0 - 1) = 2$

(3) $\int_{0}^{1} x^{-1/3} dx$ を計算します。

$\int_{0}^{1} x^{-1/3} dx = [\frac{3}{2} x^{2/3}]_{0}^{1} = \frac{3}{2} (1^{2/3} - 0^{2/3}) = \frac{3}{2} (1 - 0) = \frac{3}{2}$

(4) $\int_{0}^{1} \frac{1}{(1-x)^{2/3}} dx$ を計算します。

$u = 1-x$ と置換すると、$du = -dx$ となります。

したがって、$dx = -du$ です。

積分範囲は、$x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=0$ となります。

よって、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{(1-x)^{2/3}} dx = \int_{1}^{0} \frac{1}{u^{2/3}} (-du) = \int_{0}^{1} u^{-2/3} du = [3u^{1/3}]_{0}^{1} = 3 (1^{1/3} - 0^{1/3}) = 3 (1 - 0) = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2e}$

(2) $2$

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $3$