与えられた6つの不定積分をそれぞれ求めます。 (1) $\int \frac{3}{2x-1} dx$ (2) $\int \frac{8x-2}{2x^2-x+2} dx$ (3) $\int \frac{1}{x \log x} dx$ (4) $\int \frac{\cos x}{\sin x} dx$ (5) $\int (2x^2-x+2)(8x-2) dx$ (6) $\int \frac{\log x}{x} dx$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた6つの不定積分をそれぞれ求めます。

(1) $\int \frac{3}{2x-1} dx$

(2) $\int \frac{8x-2}{2x^2-x+2} dx$

(3) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

(4) $\int \frac{\cos x}{\sin x} dx$

(5) $\int (2x^2-x+2)(8x-2) dx$

(6) $\int \frac{\log x}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{3}{2x-1} dx$

置換積分を行います。$u = 2x - 1$ とすると、$du = 2 dx$ より、$dx = \frac{1}{2} du$。

$\int \frac{3}{2x-1} dx = \int \frac{3}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{3}{2} \log |u| + C = \frac{3}{2} \log |2x-1| + C$

(2) $\int \frac{8x-2}{2x^2-x+2} dx$

分子が分母の微分になっていることを利用します。$u = 2x^2 - x + 2$ とすると、$du = (4x - 1) dx$。よって、$2du = (8x - 2) dx$

$\int \frac{8x-2}{2x^2-x+2} dx = \int \frac{2}{u} du = 2 \int \frac{1}{u} du = 2 \log |u| + C = 2 \log |2x^2-x+2| + C$

$2x^2 - x + 2 > 0$ より、$2 \log (2x^2 - x + 2) + C$

(3) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

置換積分を行います。$u = \log x$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$。

$\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\log x| + C$

(4) $\int \frac{\cos x}{\sin x} dx$

置換積分を行います。$u = \sin x$ とすると、$du = \cos x dx$。

$\int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\sin x| + C$

(5) $\int (2x^2-x+2)(8x-2) dx$

展開して積分します。

$\int (16x^3 - 4x^2 - 8x^2 + 2x + 16x - 4) dx = \int (16x^3 - 12x^2 + 18x - 4) dx = 4x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 4x + C$

(6) $\int \frac{\log x}{x} dx$

置換積分を行います。$u = \log x$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$。

$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{1}{2} u^2 + C = \frac{1}{2} (\log x)^2 + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2} \log |2x-1| + C$

(2) $2 \log (2x^2 - x + 2) + C$

(3) $\log |\log x| + C$

(4) $\log |\sin x| + C$

(5) $4x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 4x + C$

(6) $\frac{1}{2} (\log x)^2 + C$