与えられた微分方程式を解く問題です。 微分方程式は $3yy'' = y'^2$ と表されます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。

微分方程式は $3yy'' = y'^2$ と表されます。

2. 解き方の手順

まず、$y' = p$ とおくと、$y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}$ となります。

したがって、微分方程式は次のようになります。

$3yp\frac{dp}{dy} = p^2$

$p = 0$ の場合、これは $y' = 0$ を意味し、$y = c_1$ (定数) が解になります。

次に、$p \neq 0$ と仮定して、両辺を $p$ で割ると、

$3y \frac{dp}{dy} = p$

これを変数分離すると、

$\frac{dp}{p} = \frac{dy}{3y}$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dp}{p} = \int \frac{dy}{3y}$

$\ln|p| = \frac{1}{3} \ln|y| + c$

$\ln|p| = \ln|y^{1/3}| + c$

$|p| = e^c |y^{1/3}|$

$p = Ay^{1/3}$ (ここで、$A = \pm e^c$ は任意の定数)

したがって、$y' = Ay^{1/3}$ となります。これは $\frac{dy}{dx} = Ay^{1/3}$ と書き換えられます。

再び変数分離をすると、

$y^{-1/3} dy = A dx$

両辺を積分すると、

$\int y^{-1/3} dy = \int A dx$

$\frac{3}{2} y^{2/3} = Ax + B$ (ここで、$B$ は積分定数)

$y^{2/3} = \frac{2}{3}Ax + \frac{2}{3}B$

$y^{2/3} = Cx + D$ (ここで、$C = \frac{2}{3}A$、$D = \frac{2}{3}B$ は任意の定数)

したがって、

$y = (Cx + D)^{3/2}$

3. 最終的な答え

$y = c_1$

$y = (Cx + D)^{3/2}$

ここで、$c_1, C, D$ は任意の定数。