定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos^2 x \, dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos^2 x \, dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x$ を倍角の公式を用いて変形します。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos^2 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (x + x \cos 2x) \, dx$

この積分を2つに分けます。

$\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \, dx + \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2x \, dx$

最初の積分は簡単に計算できます。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{\pi^2}{8}$

次に、2番目の積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2x \, dx$ を部分積分で計算します。

$u = x$, $dv = \cos 2x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{2} \sin 2x$ となります。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2x \, dx = \left[ \frac{x}{2} \sin 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2x \, dx$

$\left[ \frac{x}{2} \sin 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} \sin \pi - \frac{0}{2} \sin 0 = 0$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{4} (\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{4} (-1 - 1) = \frac{1}{2}$

したがって、$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2x \, dx = 0 - \frac{1}{2} (-\frac{1}{2} (cos(\pi)-cos(0))) = -\frac{1}{2} (-\frac{1}{2} (-2)) = -\frac{1}{2}*(-1) = 0-\frac{1}{2}*(\frac{-1}{2})(2)$。

部分積分の符号を間違えた。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2x \, dx = -\frac{1}{2}*(-1/2)(-1-1)=-\frac{1}{2}$

元の積分に戻ると

$\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \, dx + \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi^2}{8} \right) + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{\pi^2}{16} - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{16} - \frac{1}{4}$