定積分 $\int_0^{\pi} \sin^2 x \cos^2 x dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^{\pi} \sin^2 x \cos^2 x dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ であることを利用して、被積分関数を簡単にする。

$\sin^2 x \cos^2 x = (\sin x \cos x)^2 = (\frac{1}{2} \sin 2x)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2x$

次に、$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ を利用して、$\sin^2 2x$ を書き換える。

$\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$

したがって、

$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x = \frac{1}{4} (\frac{1 - \cos 4x}{2}) = \frac{1}{8} (1 - \cos 4x)$

これを用いて積分を計算する。

$\int_0^{\pi} \sin^2 x \cos^2 x dx = \int_0^{\pi} \frac{1}{8} (1 - \cos 4x) dx = \frac{1}{8} \int_0^{\pi} (1 - \cos 4x) dx$

$= \frac{1}{8} [x - \frac{1}{4} \sin 4x]_0^{\pi} = \frac{1}{8} [(\pi - \frac{1}{4} \sin 4\pi) - (0 - \frac{1}{4} \sin 0)]$

$= \frac{1}{8} (\pi - 0 - 0 + 0) = \frac{\pi}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{8}$