定積分 $\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sqrt{2}\sin{\theta}$ と置換します。すると、$dx = \sqrt{2}\cos{\theta} d\theta$ となります。

積分範囲も変化します。$x = 0$ のとき $\theta = 0$ であり、$x = \sqrt{2}$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}} dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{(\sqrt{2}\sin{\theta})^2}{\sqrt{2-(\sqrt{2}\sin{\theta})^2}} \sqrt{2}\cos{\theta} d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/2} \frac{2\sin^2{\theta}}{\sqrt{2-2\sin^2{\theta}}} \sqrt{2}\cos{\theta} d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/2} \frac{2\sin^2{\theta}}{\sqrt{2(1-\sin^2{\theta})}} \sqrt{2}\cos{\theta} d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/2} \frac{2\sin^2{\theta}}{\sqrt{2}\cos{\theta}} \sqrt{2}\cos{\theta} d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/2} 2\sin^2{\theta} d\theta$

ここで、$\sin^2{\theta} = \frac{1-\cos{2\theta}}{2}$ を用いると、

$\int_{0}^{\pi/2} 2\sin^2{\theta} d\theta = \int_{0}^{\pi/2} 2\left(\frac{1-\cos{2\theta}}{2}\right) d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/2} (1-\cos{2\theta}) d\theta$

$= \left[\theta - \frac{1}{2}\sin{2\theta}\right]_{0}^{\pi/2}$

$= \left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin{\pi}\right) - \left(0 - \frac{1}{2}\sin{0}\right)$

$= \frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0$

$= \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$