(1) 曲線 $y = \cosh x$ の $0 \le x \le 2$ の範囲における長さを求めます。 (2) 媒介変数 $\theta$ $(0 \le \theta \le 2\pi)$ で表された心臓形 $\gamma(\theta) = (a(1+\cos\theta)\cos\theta, a(1+\cos\theta)\sin\theta)$ の長さを求めます。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = \cosh x$ の $0 \le x \le 2$ の範囲における長さを求めます。

(2) 媒介変数 $\theta$ $(0 \le \theta \le 2\pi)$ で表された心臓形 $\gamma(\theta) = (a(1+\cos\theta)\cos\theta, a(1+\cos\theta)\sin\theta)$ の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線の長さの公式を用いて計算します。$y = \cosh x$ なので、$\frac{dy}{dx} = \sinh x$ です。曲線の長さ $L$ は、

$$L = \int_0^2 \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx = \int_0^2 \sqrt{1 + \sinh^2 x} dx$$

ここで、$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ より、$1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x$ であるから、

$$L = \int_0^2 \sqrt{\cosh^2 x} dx = \int_0^2 \cosh x dx = [\sinh x]_0^2 = \sinh 2 - \sinh 0 = \sinh 2$$

となります。

(2) 媒介変数表示された曲線の長さの公式を用いて計算します。$\gamma(\theta) = (x(\theta), y(\theta)) = (a(1+\cos\theta)\cos\theta, a(1+\cos\theta)\sin\theta)$ です。

$$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin\theta\cos\theta + (1+\cos\theta)(-\sin\theta)) = a(-\sin\theta\cos\theta - \sin\theta - \sin\theta\cos\theta) = a(-2\sin\theta\cos\theta - \sin\theta) = -a\sin\theta(2\cos\theta + 1)$$

$$\frac{dy}{d\theta} = a(-\sin\theta\sin\theta + (1+\cos\theta)(\cos\theta)) = a(-\sin^2\theta + \cos\theta + \cos^2\theta) = a(\cos\theta + \cos 2\theta)$$

曲線の長さ $L$ は、

$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} d\theta = \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2\sin^2\theta(2\cos\theta + 1)^2 + a^2(\cos\theta + \cos^2\theta - \sin^2\theta)^2}d\theta$$

ただし、$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta$ であることに注意し、

$$\frac{dy}{d\theta} = a(\cos\theta + \cos^2\theta - \sin^2\theta) = a(\cos\theta+\cos 2\theta)$$

ここで、極座標表示 $r = a(1 + \cos\theta)$ に戻って考えます。

$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ であるから、$\frac{dx}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta$ , $\frac{dy}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta$ なので、

$(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2 = (\frac{dr}{d\theta})^2 + r^2$ であり、$\frac{dr}{d\theta} = -a\sin\theta$ であるから、

$r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2 = a^2(1+\cos\theta)^2 + a^2\sin^2\theta = a^2(1+2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta) = a^2(2+2\cos\theta) = 2a^2(1+\cos\theta) = 4a^2\cos^2(\theta/2)$

よって、

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{4a^2\cos^2(\theta/2)} d\theta = \int_0^{2\pi} 2a|\cos(\theta/2)| d\theta = 2a \left(\int_0^{\pi} 2\cos(u)du\right) = 4a\int_0^{\pi}|\cos(u)|du = 4a[\sin(u)]_0^\pi= 4a[\sin(u)]_0^\pi + (-[\sin(u)]_{\pi}^{2\pi})$

$= 4a + 4a = 8a$.

3. 最終的な答え

(1) $\sinh 2$

(2) $8a$