曲線 $y = a - x$ と曲線 $y = x^2(a - x)$ で囲まれた2つの部分の面積 $S_1$ と $S_2$ が等しくなるように、定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$a > 1$ とする。

1. 問題の内容

曲線 $y = a - x$ と曲線 $y = x^2(a - x)$ で囲まれた2つの部分の面積 $S_1$ と $S_2$ が等しくなるように、定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$a > 1$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$y = a - x$ と $y = x^2(a - x)$ の交点を求める。

$a - x = x^2(a - x)$ より、

$a - x - x^2(a - x) = 0$

$(a - x)(1 - x^2) = 0$

$(a - x)(1 - x)(1 + x) = 0$

よって、$x = a$, $x = 1$, $x = -1$。

$a > 1$ なので、交点の $x$ 座標は $x = -1, 1, a$ となる。

次に、$S_1$ と $S_2$ を計算する。

$S_1$ は $-1 \le x \le 1$ の範囲で、$y = a - x$ と $y = x^2(a - x)$ で囲まれた部分の面積である。

この範囲では $a-x \ge x^2(a-x)$ なので、

$S_1 = \int_{-1}^1 (a - x - x^2(a - x)) dx = \int_{-1}^1 (a - x - ax^2 + x^3) dx$

$= [ax - \frac{x^2}{2} - \frac{ax^3}{3} + \frac{x^4}{4}]_{-1}^1 = (a - \frac{1}{2} - \frac{a}{3} + \frac{1}{4}) - (-a - \frac{1}{2} + \frac{a}{3} + \frac{1}{4})$

$= 2a - \frac{2a}{3} = \frac{4a}{3}$

$S_2$ は $1 \le x \le a$ の範囲で、$y = a - x$ と $y = x^2(a - x)$ で囲まれた部分の面積である。

この範囲では $x^2(a-x) \ge a-x$ なので、

$S_2 = \int_1^a (x^2(a - x) - (a - x)) dx = \int_1^a (ax^2 - x^3 - a + x) dx$

$= [\frac{ax^3}{3} - \frac{x^4}{4} - ax + \frac{x^2}{2}]_1^a = (\frac{a^4}{3} - \frac{a^4}{4} - a^2 + \frac{a^2}{2}) - (\frac{a}{3} - \frac{1}{4} - a + \frac{1}{2})$

$= \frac{a^4}{12} - \frac{a^2}{2} - \frac{a}{3} + \frac{3}{4}$

$S_1 = S_2$ より、

$\frac{4a}{3} = \frac{a^4}{12} - \frac{a^2}{2} - \frac{a}{3} + \frac{3}{4}$

$16a = a^4 - 6a^2 - 4a + 9$

$a^4 - 6a^2 - 20a + 9 = 0$

$(a - 3)(a^3 + 3a^2 + 3a - 3) = 0$

$a > 1$ より、$a = 3$.

$a^3 + 3a^2 + 3a - 3 = 0$ の解は $a=0.62$ 付近の値であり、$a>1$を満たさないので不適。

3. 最終的な答え

$a = 3$