曲線 $y = x(a-x)$ と曲線 $y = x^2(a-x)$ で囲まれた2つの部分の面積 $S_1$, $S_2$ が等しくなるように、定数 $a$ の値を求めます。ただし、$a > 1$ とします。

1. 問題の内容

曲線 $y = x(a-x)$ と曲線 $y = x^2(a-x)$ で囲まれた2つの部分の面積 $S_1$, $S_2$ が等しくなるように、定数 $a$ の値を求めます。ただし、$a > 1$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$y = x(a-x)$ と $y = x^2(a-x)$ の交点を求めます。

$x(a-x) = x^2(a-x)$

$x(a-x) - x^2(a-x) = 0$

$x(a-x)(1-x) = 0$

よって、$x = 0$, $x = a$, $x = 1$ が交点の $x$ 座標です。

$0 < 1 < a$ であることに注意します。

次に、面積 $S_1$ と $S_2$ を求めます。

$S_1$ は $0 \le x \le 1$ の範囲で、$y = x(a-x)$ と $y = x^2(a-x)$ で囲まれた部分の面積なので、

$S_1 = \int_0^1 (x(a-x) - x^2(a-x)) dx = \int_0^1 x(a-x)(1-x) dx = \int_0^1 (ax - ax^2 - x^2 + x^3) dx$

$S_1 = \left[ \frac{ax^2}{2} - \frac{ax^3}{3} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{a}{2} - \frac{a}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{a}{6} - \frac{1}{12}$

$S_2$ は $1 \le x \le a$ の範囲で、$y = x^2(a-x)$ と $y = x(a-x)$ で囲まれた部分の面積なので、

$S_2 = \int_1^a (x^2(a-x) - x(a-x)) dx = \int_1^a x(a-x)(x-1) dx = \int_1^a (ax^2 - ax - x^3 + x^2) dx$

$S_2 = \int_1^a (ax^2 - ax - x^3 + x^2) dx = \int_1^a (-x^3 + (a+1)x^2 - ax) dx$

$S_2 = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{(a+1)x^3}{3} - \frac{ax^2}{2} \right]_1^a = \left( -\frac{a^4}{4} + \frac{(a+1)a^3}{3} - \frac{a^3}{2} \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{a+1}{3} - \frac{a}{2} \right)$

$S_2 = -\frac{a^4}{4} + \frac{a^4+a^3}{3} - \frac{a^3}{2} + \frac{1}{4} - \frac{a+1}{3} + \frac{a}{2} = \frac{-3a^4 + 4a^4 + 4a^3 - 6a^3}{12} + \frac{3 - 4a - 4 + 6a}{12} = \frac{a^4 - 2a^3}{12} + \frac{2a - 1}{12}$

$S_1 = S_2$ より、

$\frac{a}{6} - \frac{1}{12} = \frac{a^4 - 2a^3}{12} + \frac{2a - 1}{12}$

$2a - 1 = \frac{a^4 - 2a^3}{2} + \frac{2a - 1}{2}$

$4a - 2 = a^4 - 2a^3 + 2a - 1$

$a^4 - 2a^3 - 2a + 1 = 0$

$(a-1)(a^3 - a^2 - a - 1) = 0$

$a > 1$ より、 $a=1$ は解ではない。

$a^3 - a^2 - a - 1 = 0$

数値計算により、$a \approx 1.839$

問題文をよく見ると$y=x(a-x)$と$y=x^2(a-x)$で囲まれた面積の和が0となるようなaを求めれば良い。

$\int_0^a x(a-x) - x^2(a-x) dx = 0$

$\int_0^a x(a-x)(1-x) dx = 0$

$\int_0^a ax - ax^2 - x^2 + x^3 dx = 0$

$[\frac{ax^2}{2} - \frac{ax^3}{3} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4}]_0^a = 0$

$\frac{a^3}{2} - \frac{a^4}{3} - \frac{a^3}{3} + \frac{a^4}{4} = 0$

$6a^3 - 4a^4 - 4a^3 + 3a^4 = 0$

$2a^3 - a^4 + a^4 - 4a^4/12 = 0$

$-a^4/12+a^4/3-a^4/4=0$

$a^3(2-a)/6+a^4(1/4-1/3)=0$

$\frac{a^3}{6}-\frac{a^4}{12}=0$

$\frac{a^3(2-a)}{6} = 0$

$a>1$より$a=2$.

$S_1 = \frac{2}{6} - \frac{1}{12} = \frac{4-1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

$S_2 = \int_1^2 -x^3 + 3x^2 - 2x dx = \left[-\frac{x^4}{4} + x^3 - x^2\right]_1^2 = \left(-\frac{16}{4}+8-4\right) - \left(-\frac{1}{4}+1-1\right) = (-4+8-4) - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$a = 2$