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次の極限値を求めます。 $\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \left(2 - \frac{x+2}{x+1}\right)$

解析学極限関数の極限微分
2025/7/16

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。
lim⁡x→01x(2−x+2x+1)\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \left(2 - \frac{x+2}{x+1}\right)

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を計算します。
2−x+2x+1=2(x+1)−(x+2)x+1=2x+2−x−2x+1=xx+12 - \frac{x+2}{x+1} = \frac{2(x+1) - (x+2)}{x+1} = \frac{2x+2-x-2}{x+1} = \frac{x}{x+1}
したがって、与えられた極限は
lim⁡x→01x⋅xx+1=lim⁡x→01x+1\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x+1}
xx が0に近づくとき、x+1x+1 は1に近づきます。
よって、
lim⁡x→01x+1=10+1=1\lim_{x\to 0} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{0+1} = 1

3. 最終的な答え

1

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