与えられた関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開（マクローリン展開）し、 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の形にまとめる。具体的には、以下の6つの関数についてマクローリン展開を求める。 (a) $f(x) = \log(1-x)$ (b) $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ (c) $f(x) = \arctan x$ (d) $f(x) = \cosh x$ (e) $f(x) = \sinh x$ (f) $f(x) = \log \frac{1+x}{1-x}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開（マクローリン展開）し、

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の形にまとめる。具体的には、以下の6つの関数についてマクローリン展開を求める。

(a) $f(x) = \log(1-x)$

(b) $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$

(c) $f(x) = \arctan x$

(d) $f(x) = \cosh x$

(e) $f(x) = \sinh x$

(f) $f(x) = \log \frac{1+x}{1-x}$

2. 解き方の手順

(a) $f(x) = \log(1-x)$

$\log(1-x)$ の微分を考える。

$f'(x) = \frac{-1}{1-x} = -\frac{1}{1-x} = -\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ($|x| < 1$)

これを積分すると、

$f(x) = \int f'(x) dx = \int -\sum_{n=0}^{\infty} x^n dx = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} + C = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} + C$

$f(0) = \log(1-0) = \log(1) = 0$ なので、$C=0$.

よって、 $f(x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$.

(b) $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$

これは等比数列の和の公式を利用する。

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$ ($|x^2| < 1$, つまり $|x| < 1$)

(c) $f(x) = \arctan x$

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ である。(b)より、$f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

これを積分すると、

$f(x) = \int f'(x) dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C$

$f(0) = \arctan 0 = 0$ なので、$C=0$.

よって、$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$.

(d) $f(x) = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ なので、$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$.

$\cosh x = \frac{1}{2} (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 + (-1)^n}{n!} x^n$

$n$ が奇数のとき $1+(-1)^n = 0$, $n$ が偶数のとき $1+(-1)^n = 2$.

そこで $n = 2k$ とおくと

$\cosh x = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(2k)!} x^{2k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}$.

(e) $f(x) = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ なので、$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$.

$\sinh x = \frac{1}{2} (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 - (-1)^n}{n!} x^n$

$n$ が偶数のとき $1-(-1)^n = 0$, $n$ が奇数のとき $1-(-1)^n = 2$.

そこで $n = 2k+1$ とおくと

$\sinh x = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(2k+1)!} x^{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$.

(f) $f(x) = \log \frac{1+x}{1-x} = \log(1+x) - \log(1-x)$

(a)より $\log(1-x) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

同様に $\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} - (-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}) = \sum_{n=1}^{\infty} ((-1)^{n-1} + 1) \frac{x^n}{n}$.

$n$ が偶数のとき $(-1)^{n-1} + 1 = 0$, $n$ が奇数のとき $(-1)^{n-1} + 1 = 2$.

そこで $n = 2k+1$ とおくと

$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{2k+1} x^{2k+1} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$.

3. 最終的な答え

(a) $f(x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

(b) $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

(c) $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

(d) $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

(e) $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(f) $f(x) = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$