次の関数を積分する問題です。9個の関数が与えられています。ここでは、(1) $(x + \frac{1}{x})^2$、(2) $x^3 + 3^x$、(3) $\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}$、(4) $\tan x + \frac{1}{\tan x}$、(5) $\cos 3x \cos 2x$、(6) $\frac{5}{x^2 + 3}$、(7) $\frac{2}{x^2 - 3}$、(8) $\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$、(9) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}}$ を積分します。

1. 問題の内容

次の関数を積分する問題です。9個の関数が与えられています。ここでは、(1) $(x + \frac{1}{x})^2$、(2) $x^3 + 3^x$、(3) $\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}$、(4) $\tan x + \frac{1}{\tan x}$、(5) $\cos 3x \cos 2x$、(6) $\frac{5}{x^2 + 3}$、(7) $\frac{2}{x^2 - 3}$、(8) $\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$、(9) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}}$ を積分します。

2. 解き方の手順

(1) $(x + \frac{1}{x})^2$ の積分:

まず、関数を展開します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

次に、各項を積分します。

$\int (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) dx = \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C$

(2) $x^3 + 3^x$ の積分:

各項を積分します。

$\int (x^3 + 3^x) dx = \int x^3 dx + \int 3^x dx = \frac{x^4}{4} + \frac{3^x}{\ln 3} + C$

(3) $\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}$ の積分:

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$、$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ なので、

$\int (\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) dx = \int (x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{3}}) dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}} + C$

(4) $\tan x + \frac{1}{\tan x}$ の積分:

$\frac{1}{\tan x} = \cot x$ なので、

$\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$

$\int (\tan x + \cot x) dx = \int \frac{2}{\sin 2x} dx = 2 \int \csc 2x dx = 2 \cdot \frac{-1}{2} \ln |\csc 2x + \cot 2x| + C = -\ln |\csc 2x + \cot 2x| + C = -\ln |\frac{1+\cos 2x}{\sin 2x}| + C = -\ln |\frac{2\cos^2 x}{2\sin x \cos x}|+C = -\ln |\cot x| + C$

もしくは、

$\int (\tan x + \cot x) dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx + \int \frac{\cos x}{\sin x} dx = -\ln |\cos x| + \ln |\sin x| + C = \ln |\frac{\sin x}{\cos x}| + C = \ln |\tan x| + C$

上記二つの結果は定数項の差があるだけで一致する。なぜなら$-\ln |\cot x| = -\ln |\frac{1}{\tan x}| = \ln |\tan x|$

(5) $\cos 3x \cos 2x$ の積分:

積和の公式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$ を使います。

$\cos 3x \cos 2x = \frac{1}{2}(\cos(3x+2x) + \cos(3x-2x)) = \frac{1}{2}(\cos 5x + \cos x)$

$\int \cos 3x \cos 2x dx = \int \frac{1}{2}(\cos 5x + \cos x) dx = \frac{1}{2}(\frac{1}{5}\sin 5x + \sin x) + C = \frac{1}{10}\sin 5x + \frac{1}{2}\sin x + C$

(6) $\frac{5}{x^2 + 3}$ の積分:

$\int \frac{5}{x^2 + 3} dx = 5 \int \frac{1}{x^2 + (\sqrt{3})^2} dx = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x}{\sqrt{3}} + C = \frac{5}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x}{\sqrt{3}} + C$

(7) $\frac{2}{x^2 - 3}$ の積分:

部分分数分解します。$\frac{2}{x^2 - 3} = \frac{2}{(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})} = \frac{A}{x - \sqrt{3}} + \frac{B}{x + \sqrt{3}}$

$2 = A(x + \sqrt{3}) + B(x - \sqrt{3})$

$x = \sqrt{3}$ のとき $2 = 2\sqrt{3}A \Rightarrow A = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = -\sqrt{3}$ のとき $2 = -2\sqrt{3}B \Rightarrow B = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\int \frac{2}{x^2 - 3} dx = \int (\frac{1/\sqrt{3}}{x - \sqrt{3}} - \frac{1/\sqrt{3}}{x + \sqrt{3}}) dx = \frac{1}{\sqrt{3}}(\ln |x - \sqrt{3}| - \ln |x + \sqrt{3}|) + C = \frac{1}{\sqrt{3}}\ln |\frac{x - \sqrt{3}}{x + \sqrt{3}}| + C$

(8) $\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$ の積分:

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{2^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{2} + C$

(9) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}}$ の積分:

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2^2}} dx = \operatorname{arcosh} \frac{x}{2} + C = \ln |x + \sqrt{x^2 - 4}| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C$

(2) $\frac{x^4}{4} + \frac{3^x}{\ln 3} + C$

(3) $\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}} + C$

(4) $\ln |\tan x| + C$

(5) $\frac{1}{10}\sin 5x + \frac{1}{2}\sin x + C$

(6) $\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x}{\sqrt{3}} + C$

(7) $\frac{1}{\sqrt{3}}\ln |\frac{x - \sqrt{3}}{x + \sqrt{3}}| + C$

(8) $\arcsin \frac{x}{2} + C$

(9) $\ln |x + \sqrt{x^2 - 4}| + C$