実数 $A$ が以下の無限和で定義されるとき、$A$ の値を求めよ。 $$A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left\{2 \left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1} - \left(\frac{1}{7}\right)^{2n+1} \right\}$$

1. 問題の内容

実数 $A$ が以下の無限和で定義されるとき、$A$ の値を求めよ。

$$A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left\{2 \left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1} - \left(\frac{1}{7}\right)^{2n+1} \right\}$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた無限和を２つの無限和に分解します。

$$A = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left(\frac{1}{7}\right)^{2n+1}$$

arctan のテイラー展開を利用します。arctanのテイラー展開は次のようになります。

$$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$$

この式を用いると、それぞれの無限和はarctanの形で表すことができます。

$$A = 2 \arctan \left(\frac{1}{2}\right) - \arctan \left(\frac{1}{7}\right)$$

ここで、arctan の加法定理を利用します。

$$\arctan x + \arctan y = \arctan \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$$

arctan の減法定理を利用します。

$$\arctan x - \arctan y = \arctan \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$$

$A = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)+\arctan\left(\frac{1}{2}\right) - \arctan\left(\frac{1}{7}\right)$ と変形し、

$\arctan\left(\frac{1}{2}\right)+\arctan\left(\frac{1}{2}\right) = \arctan\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\frac{3}{4}}\right) = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$

したがって、

$A = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) - \arctan\left(\frac{1}{7}\right) = \arctan\left(\frac{\frac{4}{3}-\frac{1}{7}}{1+\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{7}}\right) = \arctan\left(\frac{\frac{28-3}{21}}{\frac{21+4}{21}}\right) = \arctan\left(\frac{25}{25}\right) = \arctan(1)$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ なので、$A = \frac{\pi}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$A = \frac{\pi}{4}$