与えられた無限級数 $A$ の値を求める問題です。 $$ A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left\{ 2 \left( \frac{1}{2} \right)^{2n+1} - \left( \frac{1}{7} \right)^{2n+1} \right\} $$

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $A$ の値を求める問題です。

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A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left\{ 2 \left( \frac{1}{2} \right)^{2n+1} - \left( \frac{1}{7} \right)^{2n+1} \right\}

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2. 解き方の手順

与えられた級数を2つの級数に分解します。

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A = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left( \frac{1}{2} \right)^{2n+1} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left( \frac{1}{7} \right)^{2n+1}

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ここで、逆正接関数（arctan関数）のテイラー展開を思い出します。

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\arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}

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この公式を利用して、$A$ を書き換えます。

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A = 2 \arctan \left( \frac{1}{2} \right) - \arctan \left( \frac{1}{7} \right)

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次に、$\arctan(x) + \arctan(y) = \arctan(\frac{x+y}{1-xy})$ の公式を使います。

まず、$\arctan(\frac{1}{2})$ を二つ足します。

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2 \arctan \left( \frac{1}{2} \right) = \arctan \left( \frac{1}{2} \right) + \arctan \left( \frac{1}{2} \right) = \arctan \left( \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \right) = \arctan \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} \right) = \arctan \left( \frac{1}{\frac{3}{4}} \right) = \arctan \left( \frac{4}{3} \right)

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したがって、

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A = \arctan \left( \frac{4}{3} \right) - \arctan \left( \frac{1}{7} \right)

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再度、arctanの加法定理を使用します。

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A = \arctan \left( \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{7}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{7}} \right) = \arctan \left( \frac{\frac{28 - 3}{21}}{1 + \frac{4}{21}} \right) = \arctan \left( \frac{\frac{25}{21}}{\frac{25}{21}} \right) = \arctan (1)

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$\arctan(1)$ の値は $\frac{\pi}{4}$ です。

3. 最終的な答え

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A = \frac{\pi}{4}

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