(1) 関数 $f(x, y) = x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2$ の極値を求める。 (2) 制約条件 $x^3 - 3xy + y^3 = 0$ の下で、関数 $g(x, y) = x^2 + y^2$ の極値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x, y) = x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2$ の極値を求める。

(2) 制約条件 $x^3 - 3xy + y^3 = 0$ の下で、関数 $g(x, y) = x^2 + y^2$ の極値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、偏微分を計算する。

$f_x = 4x^3 - 4x + 4y$

$f_y = 4y^3 - 4y + 4x$

極値を与える点は、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を満たす。

$x^3 - x + y = 0$

$y^3 - y + x = 0$

2つの式を引き算すると、

$x^3 - y^3 - 2x + 2y = 0$

$(x-y)(x^2 + xy + y^2 - 2) = 0$

したがって、$x = y$ または $x^2 + xy + y^2 = 2$

もし $x=y$ なら、$x^3 = 0$ なので、$x = y = 0$

$x = 0$ を代入すると、$y = 0$ となる。

$f_{xx} = 12x^2 - 4$

$f_{yy} = 12y^2 - 4$

$f_{xy} = 4$

$f_{xx}(0,0) = -4$

$f_{yy}(0,0) = -4$

$f_{xy}(0,0) = 4$

判別式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-4)(-4) - 4^2 = 0$.

$x = y$ の場合、$x^3 - x + x = 0$ より $x(x^2) = 0$ なので、$x=0$ のみ。

$x^2 + xy + y^2 = 2$ のとき、 $x^3-x+y = 0$ と合わせて解く。

別の解き方:

$f(x,y) = x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2$について,

$(0,0)$での$f$の値は$0$である。

$(1,1)$での$f$の値は$1+1-2+4-2=2$である。

$(-1,-1)$での$f$の値は$1+1-2+4-2=2$である。

$(1,-1)$での$f$の値は$1+1-2-4-2=-6$である。

$(-1,1)$での$f$の値は$1+1-2-4-2=-6$である。

従って, $(1,-1)$と$(-1,1)$は極小値, $(0,0)$は停留点。

(2)

ラグランジュの未定乗数法を用いる。

$L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - \lambda(x^3 - 3xy + y^3)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - \lambda(3x^2 - 3y) = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 2y - \lambda(-3x + 3y^2) = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^3 - 3xy + y^3 = 0$

$\lambda \neq 0$ として、

$2x = \lambda(3x^2 - 3y)$

$2y = \lambda(-3x + 3y^2)$

$\frac{2x}{3(x^2-y)} = \frac{2y}{3(y^2-x)}$

$x(y^2-x) = y(x^2-y)$

$xy^2 - x^2 = yx^2 - y^2$

$xy^2 - yx^2 = x^2 - y^2$

$xy(y-x) = (x-y)(x+y)$

$xy(y-x) + (x-y)(x+y) = 0$

$(y-x)(-xy + x + y) = 0$

$x = y$ または $x+y = xy$

$x = y$ なら $2x^3 - 3x^2 = 0$ より $x^2(2x - 3) = 0$ なので $x = 0$ または $x = \frac{3}{2}$

$x=0$のとき, $x^2+y^2=0$

$x=\frac{3}{2}$のとき, $x^2+y^2 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$

$x+y = xy$ のとき, $x^3 - 3x(\frac{x}{x-1}) + (\frac{x}{x-1})^3 = 0$

$x = y = 0$ のとき, $x^2 + y^2 = 0$

$x = y = \frac{3}{2}$ のとき, $x^2 + y^2 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$

$x = y = 0$ なら極小値

$x = y = \frac{3}{2}$ なら極大値

3. 最終的な答え

(1) 極小値は $-6$, 極大値は $2$

(2) 極小値は $0$, 極大値は $\frac{9}{2}$