関数 $f(x) = \log(1 - x)$ の $n$ 次導関数 ($n \ge 1$) を求める。ここで $\log$ は自然対数とする。

## 問題1 b) の解答

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(1 - x)$ の $n$ 次導関数 ($n \ge 1$) を求める。ここで $\log$ は自然対数とする。

2. 解き方の手順

まず、いくつかの低次の導関数を計算し、それらのパターンから一般式を推測し、数学的帰納法で証明する。

* $f(x) = \log(1 - x)$

* $f'(x) = \frac{-1}{1 - x} = -(1 - x)^{-1}$

* $f''(x) = -(-1)(1 - x)^{-2}(-1) = -(1 - x)^{-2}$

* $f'''(x) = -(-2)(1 - x)^{-3}(-1) = -2(1 - x)^{-3}$

* $f^{(4)}(x) = -2(-3)(1 - x)^{-4}(-1) = -6(1 - x)^{-4} = -3!(1 - x)^{-4}$

これらの結果から、次の式を予想できる。

$f^{(n)}(x) = -(n - 1)!(1 - x)^{-n}$ （$n \ge 1$）

この式を数学的帰納法で証明する。

(i) $n = 1$ のとき:

$f'(x) = -(1 - 1)!(1 - x)^{-1} = -0!(1 - x)^{-1} = -(1 - x)^{-1}$

これは正しい。

(ii) $n = k$ のとき正しいと仮定する。すなわち、

$f^{(k)}(x) = -(k - 1)!(1 - x)^{-k}$

(iii) $n = k + 1$ のとき:

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx}f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} \left( -(k - 1)!(1 - x)^{-k} \right)$

$= -(k - 1)! (-k)(1 - x)^{-k - 1}(-1)$

$= -k(k - 1)!(1 - x)^{-k - 1}$

$= -k!(1 - x)^{-(k+1)}$

これは $n = k + 1$ のときも正しいことを示している。

したがって、数学的帰納法により、すべての $n \ge 1$ に対して次の式が成り立つ。

$f^{(n)}(x) = -(n - 1)!(1 - x)^{-n}$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$