関数 $f(x) = \frac{x^2}{4 + x^2}$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x^2}{4 + x^2}$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数の定義域を確認します。$x$ は実数全体で定義されています。

次に、関数の値域を考えます。

$x^2 \ge 0$ であるから、$f(x) = \frac{x^2}{4 + x^2} \ge 0$ です。

また、$x^2 + 4 > x^2$ であるから、$0 \le f(x) < 1$ となります。

$f(x)$ の最小値を求めるには、$x^2 = 0$ となる $x$ を見つければ良いです。$x = 0$ のとき、$f(0) = \frac{0}{4 + 0} = 0$ です。したがって、$f(x)$ の最小値は $0$ です。

$f(x)$ の最大値を求めるには、$x$ が無限大に近づくときの $f(x)$ の値を調べます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{4 + x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{4}{x^2} + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1$

$f(x)$ は常に $1$ より小さいので、最大値は存在せず、$1$ に限りなく近づきます。

最大値を求める別の方法として、微分を使うこともできます。

$f'(x) = \frac{2x(4 + x^2) - x^2(2x)}{(4 + x^2)^2} = \frac{8x + 2x^3 - 2x^3}{(4 + x^2)^2} = \frac{8x}{(4 + x^2)^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のときです。

$x > 0$ のとき $f'(x) > 0$ であり、$x < 0$ のとき $f'(x) < 0$ であるから、$x = 0$ で $f(x)$ は極小値（かつ最小値）を取ります。

$x$ が無限大に近づくと $f(x)$ は $1$ に近づきますが、$1$ を超えることはありません。

3. 最終的な答え

最小値: 0

最大値: 存在しない (1に限りなく近づく)