次の定積分の値を計算します。 $\int_{-2}^{0} (-2x^2 - 3x + 2) dx + \int_{0}^{2} (-2x^2 - 3x + 2) dx$

1. 問題の内容

次の定積分の値を計算します。

$\int_{-2}^{0} (-2x^2 - 3x + 2) dx + \int_{0}^{2} (-2x^2 - 3x + 2) dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (-2x^2 - 3x + 2) dx = -\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C$

次に、それぞれの定積分を計算します。

$\int_{-2}^{0} (-2x^2 - 3x + 2) dx = \left[-\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{0}$

$= (0) - \left(-\frac{2}{3}(-2)^3 - \frac{3}{2}(-2)^2 + 2(-2)\right)$

$= - \left(-\frac{2}{3}(-8) - \frac{3}{2}(4) - 4\right) = - \left(\frac{16}{3} - 6 - 4\right)$

$= - \left(\frac{16}{3} - 10\right) = - \left(\frac{16 - 30}{3}\right) = - \left(\frac{-14}{3}\right) = \frac{14}{3}$

$\int_{0}^{2} (-2x^2 - 3x + 2) dx = \left[-\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{0}^{2}$

$= \left(-\frac{2}{3}(2)^3 - \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2)\right) - (0)$

$= -\frac{2}{3}(8) - \frac{3}{2}(4) + 4 = -\frac{16}{3} - 6 + 4 = -\frac{16}{3} - 2$

$= \frac{-16 - 6}{3} = -\frac{22}{3}$

最後に、それぞれの定積分の結果を足し合わせます。

$\frac{14}{3} - \frac{22}{3} = -\frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{8}{3}$