関数 $f(x) = \frac{px + q}{x^2 + 3x}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ が $x = -\frac{1}{3}$ で極値 $-9$ をとるとき、$p$ と $q$ の値を求めよ。 (2) (1) で求めた $p$, $q$ を用いて定まる関数 $f(x)$ のすべての極値と、曲線 $y = f(x)$ の変曲点を求めよ。
2025/7/15
1. 問題の内容
関数 について、以下の問いに答えます。
(1) が で極値 をとるとき、 と の値を求めよ。
(2) (1) で求めた , を用いて定まる関数 のすべての極値と、曲線 の変曲点を求めよ。
2. 解き方の手順
(1) が で極値 をとることから、以下の2つの条件が得られます。
*
*
まず、 を計算します。
...(1)
次に、 を計算します。
より、
...(2)
(1) と (2) の連立方程式を解きます。
したがって、、
(2) (1) で求めた , を用いて、 を計算します。
となる は、
したがって、極大値は 、極小値は
次に、変曲点を求めます。そのためには、 となる を求めます。
を解くと、 が求まります。とすると、変曲点は です。
3. 最終的な答え
(1)
(2) 極大値: で 、極小値: で
変曲点: で