関数 $f(x) = \frac{px + q}{x^2 + 3x}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ が $x = -\frac{1}{3}$ で極値 $-9$ をとるとき、$p$ と $q$ の値を求めよ。 (2) (1) で求めた $p$, $q$ を用いて定まる関数 $f(x)$ のすべての極値と、曲線 $y = f(x)$ の変曲点を求めよ。

解析学関数の極値微分分数関数変曲点
2025/7/15

1. 問題の内容

関数 f(x)=px+qx2+3xf(x) = \frac{px + q}{x^2 + 3x} について、以下の問いに答えます。
(1) f(x)f(x)x=13x = -\frac{1}{3} で極値 9-9 をとるとき、ppqq の値を求めよ。
(2) (1) で求めた pp, qq を用いて定まる関数 f(x)f(x) のすべての極値と、曲線 y=f(x)y = f(x) の変曲点を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) f(x)=px+qx2+3xf(x) = \frac{px + q}{x^2 + 3x}x=13x = -\frac{1}{3} で極値 9-9 をとることから、以下の2つの条件が得られます。
* f(13)=9f(-\frac{1}{3}) = -9
* f(13)=0f'(-\frac{1}{3}) = 0
まず、f(13)=9f(-\frac{1}{3}) = -9 を計算します。
f(13)=p(13)+q(13)2+3(13)=13p+q191=13p+q89=9f(-\frac{1}{3}) = \frac{p(-\frac{1}{3}) + q}{(-\frac{1}{3})^2 + 3(-\frac{1}{3})} = \frac{-\frac{1}{3}p + q}{\frac{1}{9} - 1} = \frac{-\frac{1}{3}p + q}{-\frac{8}{9}} = -9
13p+q=9(89)=8-\frac{1}{3}p + q = -9 \cdot (-\frac{8}{9}) = 8
13p+q=8-\frac{1}{3}p + q = 8
q=13p+8q = \frac{1}{3}p + 8 ...(1)
次に、f(x)f'(x) を計算します。
f(x)=p(x2+3x)(px+q)(2x+3)(x2+3x)2f'(x) = \frac{p(x^2 + 3x) - (px + q)(2x + 3)}{(x^2 + 3x)^2}
f(x)=px2+3px(2px2+3px+2qx+3q)(x2+3x)2f'(x) = \frac{px^2 + 3px - (2px^2 + 3px + 2qx + 3q)}{(x^2 + 3x)^2}
f(x)=px22qx3q(x2+3x)2f'(x) = \frac{-px^2 - 2qx - 3q}{(x^2 + 3x)^2}
f(13)=0f'(-\frac{1}{3}) = 0 より、
f(13)=p(13)22q(13)3q((13)2+3(13))2=19p+23q3q(89)2=0f'(-\frac{1}{3}) = \frac{-p(-\frac{1}{3})^2 - 2q(-\frac{1}{3}) - 3q}{((-\frac{1}{3})^2 + 3(-\frac{1}{3}))^2} = \frac{-\frac{1}{9}p + \frac{2}{3}q - 3q}{(-\frac{8}{9})^2} = 0
19p+23q3q=0-\frac{1}{9}p + \frac{2}{3}q - 3q = 0
19p73q=0-\frac{1}{9}p - \frac{7}{3}q = 0
p21q=0-p - 21q = 0
p=21qp = -21q ...(2)
(1) と (2) の連立方程式を解きます。
q=13p+8q = \frac{1}{3}p + 8
p=21qp = -21q
q=13(21q)+8=7q+8q = \frac{1}{3}(-21q) + 8 = -7q + 8
8q=88q = 8
q=1q = 1
p=21q=21(1)=21p = -21q = -21(1) = -21
したがって、p=21p = -21q=1q = 1
(2) (1) で求めた p=21p = -21, q=1q = 1 を用いて、f(x)f(x) を計算します。
f(x)=21x+1x2+3xf(x) = \frac{-21x + 1}{x^2 + 3x}
f(x)=(21)x22(1)x3(1)(x2+3x)2f'(x) = \frac{-(-21)x^2 - 2(1)x - 3(1)}{(x^2 + 3x)^2}
f(x)=21x22x3(x2+3x)2=(7x3)(3x+1)(x2+3x)2f'(x) = \frac{21x^2 - 2x - 3}{(x^2 + 3x)^2} = \frac{(7x - 3)(3x + 1)}{(x^2 + 3x)^2}
f(x)=0f'(x) = 0 となる xx は、x=37,13x = \frac{3}{7}, -\frac{1}{3}
f(37)=21(37)+1(37)2+3(37)=9+1949+97=89+6349=87249=84972=499f(\frac{3}{7}) = \frac{-21(\frac{3}{7}) + 1}{(\frac{3}{7})^2 + 3(\frac{3}{7})} = \frac{-9 + 1}{\frac{9}{49} + \frac{9}{7}} = \frac{-8}{\frac{9 + 63}{49}} = \frac{-8}{\frac{72}{49}} = -8 \cdot \frac{49}{72} = -\frac{49}{9}
したがって、極大値は f(37)=499f(\frac{3}{7}) = -\frac{49}{9}、極小値は f(13)=9f(-\frac{1}{3}) = -9
次に、変曲点を求めます。そのためには、f(x)=0f''(x) = 0 となる xx を求めます。
f(x)=21x22x3(x2+3x)2f'(x) = \frac{21x^2 - 2x - 3}{(x^2 + 3x)^2}
f(x)=(42x2)(x2+3x)2(21x22x3)2(x2+3x)(2x+3)(x2+3x)4f''(x) = \frac{(42x - 2)(x^2 + 3x)^2 - (21x^2 - 2x - 3) \cdot 2(x^2 + 3x)(2x + 3)}{(x^2 + 3x)^4}
f(x)=(42x2)(x2+3x)(21x22x3)2(2x+3)(x2+3x)3f''(x) = \frac{(42x - 2)(x^2 + 3x) - (21x^2 - 2x - 3) \cdot 2(2x + 3)}{(x^2 + 3x)^3}
f(x)=(42x3+126x22x26x)(21x22x3)(4x+6)(x2+3x)3f''(x) = \frac{(42x^3 + 126x^2 - 2x^2 - 6x) - (21x^2 - 2x - 3)(4x + 6)}{(x^2 + 3x)^3}
f(x)=42x3+124x26x(84x3+126x28x212x12x18)(x2+3x)3f''(x) = \frac{42x^3 + 124x^2 - 6x - (84x^3 + 126x^2 - 8x^2 - 12x - 12x - 18)}{(x^2 + 3x)^3}
f(x)=42x3+124x26x(84x3+118x224x18)(x2+3x)3f''(x) = \frac{42x^3 + 124x^2 - 6x - (84x^3 + 118x^2 - 24x - 18)}{(x^2 + 3x)^3}
f(x)=42x3+6x2+18x+18(x2+3x)3f''(x) = \frac{-42x^3 + 6x^2 + 18x + 18}{(x^2 + 3x)^3}
f(x)=6(7x3x23x3)(x2+3x)3f''(x) = \frac{-6(7x^3 - x^2 - 3x - 3)}{(x^2 + 3x)^3}
7x3x23x3=07x^3 - x^2 - 3x - 3 = 0 を解くと、x1.02x \approx 1.02 が求まります。x=ax = aとすると、変曲点は (a,f(a))(a, f(a))です。

3. 最終的な答え

(1) p=21,q=1p = -21, q = 1
(2) 極大値: x=37x=\frac{3}{7}499-\frac{49}{9}、極小値: x=13x=-\frac{1}{3}9-9
変曲点: x1.02x \approx 1.02(1.02,f(1.02))(1.02, f(1.02))

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