関数 $f(x) = x^3 + kx^2 + kx + 1$ の2つの極値の和が2となるとき、$k$ の値、および2つの極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + kx^2 + kx + 1$ の2つの極値の和が2となるとき、$k$ の値、および2つの極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 2kx + k$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これが極値をとる $x$ の候補となります。$f'(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D = (2k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot k = 4k^2 - 12k$

極値を持つためには、$D > 0$ である必要があります。

$4k^2 - 12k > 0$

$4k(k - 3) > 0$

よって、$k < 0$ または $k > 3$ である必要があります。

(3) $f'(x) = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とします。解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{2k}{3}$

$\alpha \beta = \frac{k}{3}$

(4) 極値の和が2であるという条件から、$f(\alpha) + f(\beta) = 2$ となります。

$f(\alpha) + f(\beta) = (\alpha^3 + k\alpha^2 + k\alpha + 1) + (\beta^3 + k\beta^2 + k\beta + 1) = 2$

$\alpha^3 + \beta^3 + k(\alpha^2 + \beta^2) + k(\alpha + \beta) + 2 = 2$

$\alpha^3 + \beta^3 + k(\alpha^2 + \beta^2) + k(\alpha + \beta) = 0$

(5) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ および $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ を用いて式を整理します。

$(\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) + k((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta) + k(\alpha + \beta) = 0$

$(-\frac{2k}{3})^3 - 3(\frac{k}{3})(-\frac{2k}{3}) + k((-\frac{2k}{3})^2 - 2(\frac{k}{3})) + k(-\frac{2k}{3}) = 0$

$-\frac{8k^3}{27} + \frac{2k^2}{3} + k(\frac{4k^2}{9} - \frac{2k}{3}) - \frac{2k^2}{3} = 0$

$-\frac{8k^3}{27} + \frac{2k^2}{3} + \frac{4k^3}{9} - \frac{2k^2}{3} - \frac{2k^2}{3} = 0$

$-\frac{8k^3}{27} + \frac{12k^3}{27} - \frac{2k^2}{3} = 0$

$\frac{4k^3}{27} - \frac{18k^2}{27} = 0$

$4k^3 - 18k^2 = 0$

$2k^2(2k - 9) = 0$

よって、$k = 0$ または $k = \frac{9}{2}$

(6) $k < 0$ または $k > 3$ でなければならないので、$k = \frac{9}{2}$ が解となります。

(7) $k = \frac{9}{2}$ のとき、$f'(x) = 3x^2 + 9x + \frac{9}{2} = 0$ を解きます。

$6x^2 + 18x + 9 = 0$

$2x^2 + 6x + 3 = 0$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2}$

$\alpha = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$, $\beta = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$

(8) 極値を計算します。

$f(x) = x^3 + \frac{9}{2}x^2 + \frac{9}{2}x + 1$

$f(\frac{-3 + \sqrt{3}}{2}) = (\frac{-3 + \sqrt{3}}{2})^3 + \frac{9}{2}(\frac{-3 + \sqrt{3}}{2})^2 + \frac{9}{2}(\frac{-3 + \sqrt{3}}{2}) + 1 = \frac{1}{2}(5\sqrt{3}-7)$

$f(\frac{-3 - \sqrt{3}}{2}) = (\frac{-3 - \sqrt{3}}{2})^3 + \frac{9}{2}(\frac{-3 - \sqrt{3}}{2})^2 + \frac{9}{2}(\frac{-3 - \sqrt{3}}{2}) + 1 = -\frac{1}{2}(5\sqrt{3}+7)$

3. 最終的な答え

$k = \frac{9}{2}$

極値は $\frac{1}{2}(5\sqrt{3}-7)$ と $-\frac{1}{2}(5\sqrt{3}+7)$