関数 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^4 + 3y^3}{x^2 + y^2} & ((x, y) \neq (0, 0) のとき) \\ 0 & ((x, y) = (0, 0) のとき) \end{cases}$ が、点$(0, 0)$において、$x$に関して偏微分可能かどうかを調べ、$f_x(0, 0)$を求める。同様に、$y$に関して偏微分可能かどうかを調べ、$f_y(0, 0)$を求める。

1. 問題の内容

関数

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{x^4 + 3y^3}{x^2 + y^2} & ((x, y) \neq (0, 0) のとき) \\

0 & ((x, y) = (0, 0) のとき)

\end{cases}$

が、点$(0, 0)$において、$x$に関して偏微分可能かどうかを調べ、$f_x(0, 0)$を求める。同様に、$y$に関して偏微分可能かどうかを調べ、$f_y(0, 0)$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$に関する偏微分可能性を調べる。偏微分の定義から、

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

である。$f(0, 0) = 0$であり、$f(h, 0) = \frac{h^4 + 3 \cdot 0^3}{h^2 + 0^2} = \frac{h^4}{h^2} = h^2$であるから、

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h = 0$

したがって、$f_x(0, 0)$は存在し、その値は0である。

次に、$y$に関する偏微分可能性を調べる。偏微分の定義から、

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$

である。$f(0, 0) = 0$であり、$f(0, k) = \frac{0^4 + 3k^3}{0^2 + k^2} = \frac{3k^3}{k^2} = 3k$であるから、

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{3k - 0}{k} = \lim_{k \to 0} 3 = 3$

したがって、$f_y(0, 0)$は存在し、その値は3である。

3. 最終的な答え

$f_x(0, 0) = 0$

$f_y(0, 0) = 3$