以下の関数の$n$次導関数 ($n \geq 1$)を求めよ。 a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ b) $f(x) = \log(1-x)$ c) $f(x) = (1+x)^{\frac{1}{2}}$

1. 問題の内容

以下の関数の$n$次導関数 ($n \geq 1$)を求めよ。

a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$

b) $f(x) = \log(1-x)$

c) $f(x) = (1+x)^{\frac{1}{2}}$

2. 解き方の手順

a) $f(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$ の場合

$f'(x) = (-1)(1+x)^{-2}$

$f''(x) = (-1)(-2)(1+x)^{-3} = 2(1+x)^{-3}$

$f'''(x) = 2(-3)(1+x)^{-4} = -6(1+x)^{-4}$

一般化すると、

$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

b) $f(x) = \log(1-x)$ の場合

$f'(x) = \frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}$

$f''(x) = -(-1)(-1)(1-x)^{-2} = -(1-x)^{-2}$

$f'''(x) = -(-2)(-1)(1-x)^{-3} = -2(1-x)^{-3}$

一般化すると、

$f^{(n)}(x) = -(n-1)!(1-x)^{-n} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$

c) $f(x) = (1+x)^{\frac{1}{2}}$ の場合

$f'(x) = \frac{1}{2} (1+x)^{-\frac{1}{2}}$

$f''(x) = \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}) (1+x)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4} (1+x)^{-\frac{3}{2}}$

$f'''(x) = -\frac{1}{4} (-\frac{3}{2}) (1+x)^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{8} (1+x)^{-\frac{5}{2}}$

一般化すると、

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}-1) (\frac{1}{2}-2) ... (\frac{1}{2}-(n-1)) (1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

$= \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}) (-\frac{3}{2}) ... (\frac{3-2n}{2}) (1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

$= (\frac{1}{2})^n (1) (-1) (-3) ... (3-2n) (1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

$= (\frac{1}{2})^n (-1)^{n-1} (1) (3) (5) ... (2n-3) (1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

3. 最終的な答え

a) $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

b) $f^{(n)}(x) = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$

c) $f^{(n)}(x) = (\frac{1}{2})^n (-1)^{n-1} (1) (3) (5) ... (2n-3) (1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

別の表現として、

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{2^n}(1+x)^{\frac{1}{2} - n}$

ここで$(2n-3)!!$は二重階乗を表す。

$f^{(1)}(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$

$f^{(2)}(x) = \frac{-1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}$

$f^{(3)}(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}}$

$f^{(4)}(x) = \frac{-15}{16}(1+x)^{-\frac{7}{2}}$

一般に

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-3)}{2^n} (1+x)^{\frac{1}{2} - n}$

または

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{2^n}(1+x)^{\frac{1}{2} - n}$

ここで$(2n-3)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-3)$