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与えられた関数の極値を求める問題です。今回は、(4) $y = 2\sin x + \cos 2x$ ($0 \leq x \leq 2\pi$) の極値を求めます。

解析学微分三角関数極値導関数最大値最小値
2025/7/15
## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた関数の極値を求める問題です。今回は、(4) y=2sin⁡x+cos⁡2xy = 2\sin x + \cos 2x (0≤x≤2π0 \leq x \leq 2\pi) の極値を求めます。

2. 解き方の手順

1. 導関数 $y'$ を求める。

2. $y' = 0$ となる $x$ の値を求める（臨界点）。

3. 第2次導関数 $y''$ を求め、臨界点における $y''$ の符号を調べる。

- y′′>0y'' > 0 ならば極小値。
- y′′<0y'' < 0 ならば極大値。

4. 境界 $x = 0$ と $x = 2\pi$ における $y$ の値を求める。

5. 極値と境界における $y$ の値を比較し、極大値と極小値を特定する。

**具体的な計算**

1. 導関数を求める:

y=2sin⁡x+cos⁡2xy = 2\sin x + \cos 2x
y′=2cos⁡x−2sin⁡2xy' = 2\cos x - 2\sin 2x
y′=2cos⁡x−4sin⁡xcos⁡xy' = 2\cos x - 4\sin x \cos x
y′=2cos⁡x(1−2sin⁡x)y' = 2\cos x(1 - 2\sin x)

2. $y' = 0$ となる $x$ を求める:

2cos⁡x(1−2sin⁡x)=02\cos x(1 - 2\sin x) = 0
cos⁡x=0\cos x = 0 または 1−2sin⁡x=01 - 2\sin x = 0
cos⁡x=0\cos x = 0 のとき、 x=π2,3π2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}
sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} のとき、 x=π6,5π6x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}
したがって、臨界点は x=π6,π2,5π6,3π2x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}。

3. 第2次導関数を求める:

y′=2cos⁡x−4sin⁡xcos⁡xy' = 2\cos x - 4\sin x \cos x
y′′=−2sin⁡x−4(cos⁡2x−sin⁡2x)y'' = -2\sin x - 4(\cos^2 x - \sin^2 x)
y′′=−2sin⁡x−4cos⁡2xy'' = -2\sin x - 4\cos 2x
各臨界点における y′′y'' を計算する:
x=π6x = \frac{\pi}{6} のとき、y′′=−2sin⁡π6−4cos⁡π3=−2(12)−4(12)=−1−2=−3<0y'' = -2\sin\frac{\pi}{6} - 4\cos\frac{\pi}{3} = -2(\frac{1}{2}) - 4(\frac{1}{2}) = -1 - 2 = -3 < 0 (極大)
x=π2x = \frac{\pi}{2} のとき、y′′=−2sin⁡π2−4cos⁡π=−2(1)−4(−1)=−2+4=2>0y'' = -2\sin\frac{\pi}{2} - 4\cos\pi = -2(1) - 4(-1) = -2 + 4 = 2 > 0 (極小)
x=5π6x = \frac{5\pi}{6} のとき、y′′=−2sin⁡5π6−4cos⁡5π3=−2(12)−4(12)=−1−2=−3<0y'' = -2\sin\frac{5\pi}{6} - 4\cos\frac{5\pi}{3} = -2(\frac{1}{2}) - 4(\frac{1}{2}) = -1 - 2 = -3 < 0 (極大)
x=3π2x = \frac{3\pi}{2} のとき、y′′=−2sin⁡3π2−4cos⁡3π=−2(−1)−4(−1)=2+4=6>0y'' = -2\sin\frac{3\pi}{2} - 4\cos 3\pi = -2(-1) - 4(-1) = 2 + 4 = 6 > 0 (極小)

4. 各臨界点における $y$ の値を計算する:

y(π6)=2sin⁡π6+cos⁡π3=2(12)+12=1+12=32y(\frac{\pi}{6}) = 2\sin\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{3} = 2(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
y(π2)=2sin⁡π2+cos⁡π=2(1)+(−1)=2−1=1y(\frac{\pi}{2}) = 2\sin\frac{\pi}{2} + \cos\pi = 2(1) + (-1) = 2 - 1 = 1
y(5π6)=2sin⁡5π6+cos⁡5π3=2(12)+12=1+12=32y(\frac{5\pi}{6}) = 2\sin\frac{5\pi}{6} + \cos\frac{5\pi}{3} = 2(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
y(3π2)=2sin⁡3π2+cos⁡3π=2(−1)+(−1)=−2−1=−3y(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin\frac{3\pi}{2} + \cos 3\pi = 2(-1) + (-1) = -2 - 1 = -3
境界点における yy の値を計算する:
y(0)=2sin⁡0+cos⁡0=0+1=1y(0) = 2\sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1
y(2π)=2sin⁡2π+cos⁡4π=0+1=1y(2\pi) = 2\sin 2\pi + \cos 4\pi = 0 + 1 = 1
したがって、
- x=π6,5π6x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} で極大値 32\frac{3}{2}
- x=π2x = \frac{\pi}{2} で極小値 11
- x=3π2x = \frac{3\pi}{2} で極小値 −3-3

3. 最終的な答え

- 極大値: 32\frac{3}{2} (x=π6,5π6x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})
- 極小値: 11 (x=π2x = \frac{\pi}{2}), −3-3 (x=3π2x = \frac{3\pi}{2})

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