与えられた6つの不定積分を計算する問題です。積分定数は $C$ を用いること。 (1) $\int (3x+1)^4 dx$ (2) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx$ (3) $\int \tan^3 x dx$ (4) $\int \log(x+2) dx$ (5) $\int xe^{3x^2} dx$ (6) $\int \sin 4x \cos 3x dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの不定積分を計算する問題です。積分定数は $C$ を用いること。

(1) $\int (3x+1)^4 dx$

(2) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx$

(3) $\int \tan^3 x dx$

(4) $\int \log(x+2) dx$

(5) $\int xe^{3x^2} dx$

(6) $\int \sin 4x \cos 3x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (3x+1)^4 dx$

$u = 3x+1$ と置換すると、$du = 3dx$ より $dx = \frac{1}{3} du$。

したがって、

$\int (3x+1)^4 dx = \int u^4 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^4 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^5 + C = \frac{1}{15} (3x+1)^5 + C$

(2) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx$

$u = x^2-1$ と置換すると、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} du$。

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{1/2} + C = \sqrt{x^2-1} + C$

(3) $\int \tan^3 x dx$

$\int \tan^3 x dx = \int \tan x (\tan^2 x) dx = \int \tan x (\sec^2 x - 1) dx = \int \tan x \sec^2 x dx - \int \tan x dx$

ここで、$\int \tan x \sec^2 x dx$ について、$u = \tan x$ と置換すると $du = \sec^2 x dx$ より、

$\int \tan x \sec^2 x dx = \int u du = \frac{1}{2}u^2 + C = \frac{1}{2} \tan^2 x + C$

また、$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$ について、$v = \cos x$ と置換すると $dv = -\sin x dx$ より、

$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \frac{-1}{v} dv = -\log |v| + C = -\log |\cos x| + C = \log |\sec x| + C$

したがって、

$\int \tan^3 x dx = \frac{1}{2} \tan^2 x - \log |\sec x| + C$

(4) $\int \log(x+2) dx$

部分積分を用いる。$u = \log(x+2)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x+2} dx$, $v = x$。

$\int \log(x+2) dx = x \log(x+2) - \int \frac{x}{x+2} dx = x \log(x+2) - \int (1 - \frac{2}{x+2}) dx = x \log(x+2) - x + 2 \log(x+2) + C = (x+2)\log(x+2) - x + C$

(5) $\int xe^{3x^2} dx$

$u = 3x^2$ と置換すると、$du = 6x dx$ より $x dx = \frac{1}{6} du$。

したがって、

$\int xe^{3x^2} dx = \int e^u \frac{1}{6} du = \frac{1}{6} \int e^u du = \frac{1}{6} e^u + C = \frac{1}{6} e^{3x^2} + C$

(6) $\int \sin 4x \cos 3x dx$

積和の公式を用いる。$\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$

$\sin 4x \cos 3x = \frac{1}{2} (\sin 7x + \sin x)$

したがって、

$\int \sin 4x \cos 3x dx = \int \frac{1}{2} (\sin 7x + \sin x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 7x + \sin x) dx = \frac{1}{2} (-\frac{1}{7} \cos 7x - \cos x) + C = -\frac{1}{14} \cos 7x - \frac{1}{2} \cos x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{15}(3x+1)^5 + C$

(2) $\sqrt{x^2-1} + C$

(3) $\frac{1}{2} \tan^2 x - \log |\sec x| + C$

(4) $(x+2)\log(x+2) - x + C$

(5) $\frac{1}{6} e^{3x^2} + C$

(6) $-\frac{1}{14} \cos 7x - \frac{1}{2} \cos x + C$