定積分 $\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(\sqrt{x} + 1)^2 = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x} + 1 = x + 2\sqrt{x} + 1$

よって、積分は

$\int_{1}^{4} \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{x} dx = \int_{1}^{4} \left( 1 + \frac{2\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x} \right) dx = \int_{1}^{4} \left( 1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} \right) dx$

となります。

それぞれの項を積分します。

$\int 1 dx = x$

$\int \frac{2}{\sqrt{x}} dx = 2 \int x^{-\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{x}$

$\int \frac{1}{x} dx = \log|x|$

したがって、

$\int_{1}^{4} \left( 1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} \right) dx = \left[ x + 4\sqrt{x} + \log|x| \right]_{1}^{4}$

定積分の値を計算します。

$\left[ x + 4\sqrt{x} + \log|x| \right]_{1}^{4} = (4 + 4\sqrt{4} + \log 4) - (1 + 4\sqrt{1} + \log 1) = (4 + 8 + \log 4) - (1 + 4 + 0) = 12 + \log 4 - 5 = 7 + \log 4$

$\log 4 = \log 2^2 = 2 \log 2$ であるから、答えは $7+2\log 2$ となります。

3. 最終的な答え

$7 + 2\log 2$