問題は、以下の3つの関数のマクローリン展開を求めるものです。 * $e^x$ を4次の項まで * $\cos x$ を4次の項まで * $\sin x$ を5次の項まで さらに、$\sin x$ の5次までのマクローリン展開を利用して、$\sin^2 x$ の6次の項までのマクローリン展開を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの関数のマクローリン展開を求めるものです。

* $e^x$ を4次の項まで

* $\cos x$ を4次の項まで

* $\sin x$ を5次の項まで

さらに、$\sin x$ の5次までのマクローリン展開を利用して、$\sin^2 x$ の6次の項までのマクローリン展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **$e^x$ のマクローリン展開**

$e^x$ のマクローリン展開は次のようになります。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + R_5$

4次の項までなので、

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + R_5$

* **$\cos x$ のマクローリン展開**

$\cos x$ のマクローリン展開は次のようになります。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... + R_5$

4次の項までなので、

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + R_5$

* **$\sin x$ のマクローリン展開**

$\sin x$ のマクローリン展開は次のようになります。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... + R_6$

5次の項までなので、

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + R_6$

* **$\sin^2 x$ のマクローリン展開**

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + R_6$ を2乗します。

$\sin^2 x = (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + R_6)^2$

$\sin^2 x = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} + R_7$

3. 最終的な答え

* $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + R_5$

* $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + R_5$

* $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + R_6$

* $\sin^2 x = x^2 - \frac{1}{3} x^4 + \frac{2}{45} x^6 + R_7$

画像中の空欄に埋めるべき答えは以下の通りです。

* $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}$

* $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$

* $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$

* $\sin^2 x = x^2 - \frac{1}{3}x^4 + \frac{2}{45}x^6 + R_7$