関数 $f(x) = \arctan(x)$ （または $\tan^{-1}x$）の $n$ 階導関数を $f^{(n)}(x)$ とするとき、$f^{(n)}(0)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \arctan(x)$ （または $\tan^{-1}x$）の $n$ 階導関数を $f^{(n)}(x)$ とするとき、$f^{(n)}(0)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \arctan(x)$ の導関数をいくつか計算して、規則性を見つけます。

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

$f''(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

$f'''(x) = \frac{-2(1+x^2)^2 + 2x(2(1+x^2)(2x))}{(1+x^2)^4} = \frac{-2(1+x^2) + 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}$

$x=0$ を代入すると、

$f(0) = \arctan(0) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1$

$f''(0) = \frac{-2(0)}{(1+0^2)^2} = 0$

$f'''(0) = \frac{6(0)^2-2}{(1+0^2)^3} = -2$

規則性を見つけるために、$f'(x)$ をテイラー展開します。

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^{2k}$

これを積分することで、$f(x)$ のテイラー展開が得られます。

$f(x) = \int f'(x) dx = \int \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^{2k} dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1} + C$

$f(0) = 0$ なので、$C=0$ であり、

$f(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}$

テイラー展開の一般的な形は、$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ であるので、

$f(x)$ のテイラー展開の係数と一致させます。

$x^n$ の係数は $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ なので、$n$ が奇数の場合、$\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n}$ より、$f^{(n)}(0) = (-1)^{(n-1)/2} (n-1)!$。

$n$ が偶数の場合は、$f^{(n)}(0) = 0$。

まとめると、

$n$ が奇数のとき、$f^{(n)}(0) = (-1)^{\frac{n-1}{2}}(n-1)!$

$n$ が偶数のとき、$f^{(n)}(0) = 0$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(0) =

\begin{cases}

(-1)^{\frac{n-1}{2}} (n-1)! & \text{if } n \text{ is odd} \\

0 & \text{if } n \text{ is even}

\end{cases}$