関数 $f(x) = x(3 - 2\log x)$ ($x > 0$) が与えられている。ただし、対数は自然対数である。 (1) 導関数 $f'(x)$ を求める。 (2) $f(x)$ の増減、極値を調べ、$y = f(x)$ のグラフの概形をかく。必要ならば、$\lim_{x\to +0} x\log x = 0$ を用いてよい。 (3) O を原点とする座標平面上に 2 点 A($t$, $f(t)$), B($\log t$, 0) をとる。$t$ が $1 < t < e^{3/2}$ の範囲を動くとき、$\triangle OAB$ の面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x(3 - 2\log x)$ ($x > 0$) が与えられている。ただし、対数は自然対数である。

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

(2) $f(x)$ の増減、極値を調べ、$y = f(x)$ のグラフの概形をかく。必要ならば、$\lim_{x\to +0} x\log x = 0$ を用いてよい。

(3) O を原点とする座標平面上に 2 点 A($t$, $f(t)$), B($\log t$, 0) をとる。$t$ が $1 < t < e^{3/2}$ の範囲を動くとき、$\triangle OAB$ の面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 導関数の計算

$f(x) = x(3 - 2\log x)$ を微分する。積の微分法を用いる。

$f'(x) = (x)'(3 - 2\log x) + x(3 - 2\log x)'$

$f'(x) = 1(3 - 2\log x) + x(-\frac{2}{x})$

$f'(x) = 3 - 2\log x - 2$

$f'(x) = 1 - 2\log x$

(2) 増減と極値

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$1 - 2\log x = 0$

$2\log x = 1$

$\log x = \frac{1}{2}$

$x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

増減表を作成する。

$x < \sqrt{e}$ のとき $f'(x) > 0$ なので $f(x)$ は増加。

$x > \sqrt{e}$ のとき $f'(x) < 0$ なので $f(x)$ は減少。

したがって、$x = \sqrt{e}$ で極大値をとる。

極大値は

$f(\sqrt{e}) = \sqrt{e}(3 - 2\log \sqrt{e}) = \sqrt{e}(3 - 2\cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{e}(3 - 1) = 2\sqrt{e}$

グラフの概形：

$x \to +0$ のとき $f(x) \to 0$ ($\lim_{x\to +0} x\log x = 0$より)

$f(1) = 1(3-2\log 1) = 3$

$f(e^{3/2}) = e^{3/2}(3 - 2\log e^{3/2}) = e^{3/2}(3 - 2 \times \frac{3}{2}) = 0$

(3) 面積の最大値

A($t$, $f(t)$), B($\log t$, 0), O(0, 0)

$\triangle OAB$ の面積 $S$ は

$S = \frac{1}{2} |\log t \cdot f(t) - 0 \cdot t| = \frac{1}{2} |\log t \cdot f(t)| = \frac{1}{2} |\log t \cdot t(3 - 2\log t)| = \frac{1}{2} |t\log t (3 - 2\log t)|$

ここで、 $1 < t < e^{3/2}$ より $\log t > 0$ であり、 $3 - 2\log t > 0$ なので、

$S = \frac{1}{2} t\log t (3 - 2\log t)$

$u = \log t$ とおくと、 $0 < u < \frac{3}{2}$ であり、 $t = e^u$ なので

$S = \frac{1}{2} e^u u (3 - 2u) = \frac{1}{2} e^u (3u - 2u^2)$

$\frac{dS}{du} = \frac{1}{2} e^u (3u - 2u^2) + \frac{1}{2} e^u (3 - 4u) = \frac{1}{2} e^u (3u - 2u^2 + 3 - 4u) = \frac{1}{2} e^u (-2u^2 - u + 3)$

$\frac{dS}{du} = 0$ となる $u$ を求める。

$-2u^2 - u + 3 = 0$

$2u^2 + u - 3 = 0$

$(2u + 3)(u - 1) = 0$

$u = 1, -\frac{3}{2}$

$0 < u < \frac{3}{2}$ より $u = 1$

増減表を作成する。

$0 < u < 1$ のとき $\frac{dS}{du} > 0$ なので $S$ は増加。

$1 < u < \frac{3}{2}$ のとき $\frac{dS}{du} < 0$ なので $S$ は減少。

したがって、$u = 1$ で最大値をとる。

$u = 1$ のとき $t = e^1 = e$

$S = \frac{1}{2} e \cdot 1 (3 - 2\cdot 1) = \frac{1}{2} e \cdot 1 = \frac{e}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 1 - 2\log x$

(2) $x=\sqrt{e}$で極大値$2\sqrt{e}$

(3) $\frac{e}{2}$